7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册17张PPT

20210323
数系的扩充
自然数
分数
整数
有理数
无理数
实数
①
②
③
①
②
③
？
新课导入
依照这种思想, 为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i, 使得x=i是方程 的解, 即使得 i2 = -1.
经过扩充后，我们任希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，
依此设想，我们
①把实数b与i相乘，结果记作bi
②把实数a与bi相加，结果记作a+bi
所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
新课导入
历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.
1、复数的概念
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
i 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
复数通常用字母z表示，即
z=a+bi (a,b∈R)
当且仅当b=0时，它叫做实数；
当且仅当b≠0时，它叫做虚数；
当且仅当a=0,b≠0时，它叫做纯虚数.
新课讲授
实部
虚部
当且仅当a=b=0时，它是实数0;
思考：复数集C与实数集R之间有什么关系？
复数
实数
(b=0)
虚数
(b≠0)
纯虚数
(a=0,b≠0)
非纯虚数
(a≠0,b≠0)
2、复数的分类
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果 ，那么
3、复数相等
例题1 写出下列复数的实部与虚部.
解：4 的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i 的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0 的实部为 0 ,虚部为 0 ;
的实部为 ,虚部为 ;
的实部为 5 ,虚部为 ;
6i 的实部为 0 ,虚部为 6 .
例题1
实数有 ;
虚数有 ;
纯虚数有 .
4 ， 0
练习 判断下列命题是否正确：
（1）复数2＋3i的虚部是3i；
（2）若a、b为实数，则z=a+bi 为虚数;
（3）如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；
（4）若b为实数，则z=bi 必为纯虚数;
（5）若a为实数，则z=a 一定不是虚数.
（6）若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．
√
×
×
×
×
√
复数的概念
（1）复数的代数形式: 若z=a+bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
（3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的（即虚数无法比较大小）.
（4）举反例: 判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
注意
例题2 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？
（1）实数； （2）虚数；（3）纯虚数.
解：当m-1=0时，即m=1时，复数z是实数；
当m-1≠0时，即m≠1时，复数z是虚数；
当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数z是纯虚数.
练习 实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)是0？
解：(1)复数z为实数，m＝5或－3.
(2)复数z为虚数，m≠5且m≠－3.
(3)复数z是纯虚数，m＝－2.
(4)复数z是0，m＝－3.
复数的分类
复数相等的充要条件
例题3 求适合下列方程的实数x与y的值:
（1） （2）
（3）
（4）
复数相等的问题
求方程组的解的问题
转化
(a，b，c，d∈R)
判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！
注意
练习 已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根n，求实数m的值.
解：
思考：
由3>2不能推出3十i>2+i，
当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.
例题4
解：
练习 若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0，求实数m的值.
1. 下列n的取值中，使 in =1 (i是虚数单位）的是（ ）
A、n=2 B、n=3 C、n=4 D、n=5
2. 复数Z=i+i2+i3+i4的值是（ ）
A、-１ B、0 C、1 Ｄ、i
3. 复数i2(1+i)的实部是________。
C
B
-1
i4k =1, i4k+1 =i, i4k+2 =-1, i4k+3 =-i,
i4k + i4k+1 + i4k+2 + i4k+3 =0
虚数单位i
i2=-1
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
课堂小结
复数
z=a+bi
1．判断正误(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．复数i－2的虚部是(　　) A．i　　　　　　　　　 B．－2 C．1 D．2
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
C
A