8.6.2直线与平面垂直（第1课时）课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册14张PPT

学习目标
1.领会直线与平面垂直的定义,了解直线与平面所成的角;
2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理;
3.会用相关定义、定理解决直线与平面垂直问题.
4.核心素养:直观想象,数学抽象,逻辑推理.
空间中直线与平面有几种位置关系？
线 面
位置关系
垂直
斜交
a
b
在平面内
平行
复习回顾
——第一课时
新课导入
旗杆与地面垂直
旗杆AB所在直线与地面垂直，即与地面上任意一条直线都垂直.
旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?
垂直
旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直.
地面上不过点B的任意直线B’C’，AB与B’C’垂直吗？
思考1：
记作：
新课讲授
如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直.
α
P
1、直线与平面垂直的定义
l
注意：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
平面α的垂线
垂足
直线l的垂面
若直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直，则l⊥α.
若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直.
判断正误：
若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直.
线面垂直
线线垂直
定义
思考2：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
P
一条
l
α
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,
垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2、点到平面的距离
P
l
能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？
一条？
怎么来判定直线与平面垂直？
由定义判定直线与平面垂直，简便吗？
思考3：
l
l
两条？
探究：准备一块三角形纸片，设纸片的三个顶角分别为A,B,C，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( 使BD、DC与桌面都接触）.
思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直．
事实上，由基本事实的推论2，平面α可以看成是由两条相交直线BD，CD所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直。
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
线线垂直 　　　 线面垂直
判定定理
定义
垂直
内
相交
3、直线和平面垂直的判定定理
如图,已知 ,求证:
∵
∴
∵
是两条相交直线，
∴
证明：在平面 内作两条相交直线m，n
∵ ，
例题巩固
∴
例题1 求证：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面.
方法1：利用线面垂直的判定定理证明
方法2：利用线面垂直的定义证明
∵
∴
∵m是平面α内任意一条直线
∴
证明：在平面 内任取一条直线m
∵ ，
∴
若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面.
例题2 如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC，PB =PD.
求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P

=
ABCD
PO
O
BD
AC
平面
又
^
\
I
Q
BD
PO
BD
O
PD
PB
的中点
是
点
又
^
\
=
Q
,
PC
PA
=
AC
PO
点O是AC的中点
证明:
^
\
Q
,
例题3
例题4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证BC1⊥平面A1B1CD .
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
解：
∴A1B1⊥BC1
∵BC1⊥B1C
B1C和A1B1平面A1B1CD内的两条相交直线
∴BC1⊥平面A1B1CD
∵正方体A1B1C1D1-ABCD
∴A1B1⊥平面B1BCC1
∵BC1 平面B1BCC1
例题5 如图,直四棱柱 中，底面四边形 满足什么条件时, ？
底面四边形ABCD对角线相互垂直
课堂小结
1. 直线与平面垂直的定义：“任意”
2. 直线和平面垂直的判定定理
定义的运用：线面垂直
线线垂直
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
线线垂直
线面垂直
3.
如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
P
A
斜足
斜线
平面的斜线
思考4 我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,如何给它命名？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?
如图，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角，如图中∠PAO.
斜线
斜足
射影
垂足
垂线
一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；
一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是0°的角.
规定:
直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
4、直线和平面所成角
例题1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2）A1C1与面BB1D1D所成的角
（1）0o
（2）90o
例题1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1B与面A1B1CD所成的角
（4）30o
（3）45o
O
例题1 （4）求A1B与面A1B1CD所成的角
O
1.构造：作垂线→作射影→作平面角
2.证明：证明某平面角就是斜线与平面所成角（关键证垂直）
3.计算：求所成角，通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.
4.下结论