第六章期末复习第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一、考点目标锁定:
1.理解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题.
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、知识要点梳理:
1.两个向量的夹角
(1)定义
已知两个 向量,,作=,=,则∠AOB=θ叫做向量与的夹角.
(2)范围
向量夹角θ的范围是 ,当夹角θ= 时, 两向量同向,当夹角θ= 时, 两向量反向,当夹角θ= 时两向量共线,当θ= 时,两向量垂直,记作⊥.
2.平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面内的任意向量,________一对实数λ1,λ2,使________________,其中不共线的向量,叫表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,作为基底,对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使=x+y,这样,平面内的任一向量都可由x,y唯一确定,把有序数对 叫做向量的坐标,记作= ,其中 叫做在x轴上的坐标, 叫做在y轴上的坐标.
②设=x+y,则向量的坐标(x,y)就是 的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立.(O是坐标原点)
3.平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(_______,_______),-=(_______,_______),λ=(_____,____),||=_______.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=____________________________.
4.平面向量共线的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2),其中≠0,当且仅当______________时,向量,共线.
三、双基自测:
1.若向量=(3, -1),=(-1,2),则-3-2=( )
A.(7,1) B.(-7,-1) C.(7,-1) D.(-7,1)
2.若向量=(1,1),=(-1,1),=(4,2),则=( ).
A.3+ B.3- C.-+3 D.+3
3.若三点P (1,1),A (2, -4),B (x, -9)共线,则x=( )
A.-1 B.3 C. D.51
4.已知平面向量=(x,1),=(-x,x2),则向量+ ( )
A.平行于y轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于x轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
5.已知向量=(2,-1),=(-1,m),=(-1,2),若(+)∥,则m=________.
6.设向量=(1,-3),=(-2,4),=(-1,-2).若表示向量4、4-2、
2(-)、的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量=____________.
四、典例讲解:
考点一 平面向量基本定理及其应用
1.下列各组向量:①=(-1,2),=(5,7);②=(3,5),=(6,10);③=(2,-3),=,能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 ( )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
2.在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC和BC的中点,已知,试用表示
3.如图所示,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.
考点二 平面向量的坐标运算
1. 在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( ).
A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=,=,=,且=3,=-2
(1)求3+-3;
(2)求满足=m+n的实数m,n;
(3)求M、N的坐标及向量的坐标.
考点三 平面向量共线的坐标运算
已知两点A(4,1),B(7,-3),则与同向的单位向量是__________.
2. 已知=(1,0),=(2,1).
(1)求|+3|;
(2)当k为何实数时,k-与+3平行,平行时它们是同向还是反向?
3.已知与的夹角为60°,当实数k为何值时,
(1) (2).
如图所示,在?ABCD中,已知=,AC与BE相交于点F,=λ,则λ=________.
(第3题) (第4题)
在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=,=,以、为基底表示,则=________.
考点四 综合应用
1.若在直线l上存在不同的三个点A,B,C,使得关于实数x的方程有解(点O不在直线l上,则此方程的解集为___________________.
2.设G是△ABC的重心,且,则∠B的大小=___________.
【滚动练习】1. 浙江省教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下所示的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
2. 如图,在直角梯形ABCD中,AB//CD, AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF折叠,使ED⊥DC,M为ED的中点,如图2.
(1)求证:AM//平面BEC;
(2)求证:平面BCD⊥平面BDE; 图1
(3)若DE=1,求点D到平面BCE的距离。
图2
1