《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 必修（第二册）同步练习：7.2复数同步练习真题篇（Word含答案解析）

1070610010820400《作业推荐》—7.2复数同步练习真题篇
一、单选题(共 55 分)
1.已知i是虚数单位，z=1+i?3i2020，且z的共轭复数为z，则z?z=（ ）
A.3 B.5 C.5 D.3
2.已知复数z=4i1+3i，则z=（ ）
A.1 B.3 C.2 D.3
3.设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A.(x+1)2+y2=1 B.(x?1)2+y2=1 C.x2+(y?1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
5.复数(1?i)22i=（ ）
A.1 B.?1 C.i D.?i
6.已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A.若z∈C,则z2?0 B.2i?1的虚部是2i
C.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i D.实数集在复数集中的补集是虚数集
7.设复数的共轭复数为z且满足关系z+z=2+i，那么z等于
A.34+i B.34?i C.?34+i D.?34?i
8.已知复数z=1+2i1+ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ）
A.?1 B.1 C.?3 D.3
9.设z的共轭复数是z，若z+z=4，z·z=8，则zz等于 （ ）
A.i B.?i C.±1 D.±i
10.若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A.（–∞，1） B.（–∞，–1）
C.（1，+∞） D.（–1，+∞）

11.据记载，欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=e3π4i的共轭复数为z，则z=（ ）
A.?22?22i B.?22+22i C.22+22i D.22?22i
二、解答题(共 45 分)
12.计算下列各式的值.
（1）?12+32i3；
（2）?12?32i3；
（3）(3?i)6.
13.将复数1+cosα+isinα化为三角形式.
14.如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) AO,BC所表示的复数；
(2)对角线CA所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
1070610010820400《作业推荐》—7.2复数同步练习真题篇
一、单选题(共 55 分)
1.已知i是虚数单位，z=1+i?3i2020，且z的共轭复数为z，则z?z=（ ）
A.3 B.5 C.5 D.3
【答案】C
【解析】
【分析】

根据复数概念及运算，化简可得复数z，由共轭复数概念可得z，进而由复数乘法运算得解.
【详解】
∵i=i,i2=?1,i3=?i,i4=1,???,∴i2020=i505×4=(i4)505=1
z=1+i?3i2020=1+i?3=?2+i，z=?2?i
∴z?z=(?2+i)(?2?i)=4?i2=5
故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.
2.已知复数z=4i1+3i，则z=（ ）
A.1 B.3 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简z=4i1+3i=3+i，再利用复数模长公式求出结果.
【详解】
解：∵z=4i1+3i=4i(1?3i)(1+3i)(1?3i)=4i+434=3+i，
∴z=3+i=(3)2+1=2
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.
复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：
(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；
(2)对分子、分母分别进行乘法运算；
(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．
复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．
3.设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出共轭复数再判断结果.
【详解】
由z=?3+2i,得z=?3?2i,则z=?3?2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
【点睛】
本题考点为共轭复数，为基础题目．
4.设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A.(x+1)2+y2=1 B.(x?1)2+y2=1 C.x2+(y?1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
z=x+yi,z?i=x+(y?1)i, z?i=x2+(y?1)2=1,则x2+(y?1)2=1．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
5.复数(1?i)22i=（ ）
A.1 B.?1 C.i D.?i
【答案】B
【解析】
(1?i)22i=
[点评]突出考查知识点，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.
6.已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A.若z∈C,则z2?0 B.2i?1的虚部是2i
C.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i D.实数集在复数集中的补集是虚数集
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的概念与性质判断即可.
【详解】
令z=i∈C,则i2=?1<0,故A不正确;2i?1的虚部是2,故B不正确;a+i与b+i都是虚数,不能比较大小,故C不正确;由实数集与虚数集可组成复数集知D正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了复数的概念与性质,属于基础题型.
7.设复数的共轭复数为z且满足关系z+z=2+i，那么z等于
A.34+i B.34?i C.?34+i D.?34?i
【答案】A
【解析】
【分析】
先设z=x+yi,根据题意得到方程组，求解，即可得出结果.
【详解】
设z=x+yi,则z+z=x+yi+x2+y2=2+i,.
∴x+x2+y2=2y=1?x=34y=1 ∴z= 34+i.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查复数的运算，熟记复数模的计算公式，以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.
8.已知复数z=1+2i1+ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ）
A.?1 B.1 C.?3 D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
首先通过复数的四则运算化简复数z，然后根据复数z的实部与虚部互为相反数求出a.
【详解】
解：z=1+2i1?ai1+ai1?ai=1?ai+2i+2a1+a2=1+2a+2?ai1+a2，实部为1+2a1+a2，虚部为2?a1+a2，由复数z的实部与虚部互为相反数可得1+2a=a?2，解得a=?3.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的四则运算和复数的概念，考查的核心素养是数学运算，属于基础题.
9.设z的共轭复数是z，若z+z=4，z·z=8，则zz等于 （ ）
A.i B.?i C.±1 D.±i
【答案】D
【解析】
：设z=2+bi，由z?z=8得4+b2=8,b=±2. zz=z28=(2±2i)28=±i.选D.
10.若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A.（–∞，1） B.（–∞，–1）
C.（1，+∞） D.（–1，+∞）
【答案】B
【解析】
试题分析：设z=1?ia+i=a+1+1?ai，因为复数对应的点在第二象限，所以a+1<01?a>0，解得：a【考点】复数的运算
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
11.据记载，欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=e3π4i的共轭复数为z，则z=（ ）
A.?22?22i B.?22+22i C.22+22i D.22?22i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据欧拉公式，代入可得复数z，化简后由共轭复数定义即可得z.
【详解】
欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)，
则z=e3π4i=cos3π4+isin3π4=?22+22i，
根据共轭复数定义可知z=?22?22i，
故选：A.
【点睛】
本题考查了数学文化与简单应用，复数的相关概念和共轭复数定义，属于基础题.
二、解答题(共 45 分)
12.计算下列各式的值.
（1）?12+32i3；
（2）?12?32i3；
（3）(3?i)6.
【答案】（1）1；（2）1；（3）?64.
【解析】
【分析】
将各复数化为三角形式，计算即可.
【详解】
（1）?12+32i3=cos2π3+isin2π33=cos2π+sin2π=1；
（2）?12?32i3=cos4π3+isin4π33=cos4π+sin4π=1；
（3）(3?i)6=2632?12i6=64cos?π6+isin?π66=64[cos(?π)+isin(?π)]=?64.
【点睛】
本题考查复数的代数形式转化为三角形式，属于基础题.
13.将复数1+cosα+isinα化为三角形式.
【答案】2cosα2cosα2+isinα2
【解析】
【分析】
直接利用复数的三角形式化简即可.
【详解】
∵1+cosα=2cos2α2,sinα=2sinα2cosα2，
∴1+cosα+sinα=2cos2α2+i2sinα2cosα2
=2cosα2cosα2+isinα2.
【点睛】
本题考查了复数的代数形式转化为三角形式，二倍角公式，属于基础题.
14.如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) AO,BC所表示的复数；
(2)对角线CA所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i
【解析】
【分析】
（1）利用复数表示的几何意义即可求解.
（2）由向量的减法运算求出CA=OA?OC，再由复数的几何意义即可求解.
（3）由向量的加法运算求出OB=OA+OC，再由复数的几何意义即可求解.
【详解】
(1) AO=?OA，所以AO所表示的复数为－3－2i.
因为BC=AO，所以BC所表示的复数为－3－2i.
(2) CA=OA?OC，所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3) OB=OA+OC，所以OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义以及向量的加法、减法运算，属于基础题.