《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 必修（第二册）同步练习：8.3空间几何体的表面积与体积（Word含答案解析）

1205230011087100《作业推荐》—8.3空间几何体的表面积与体积
一、单选题(共 45 分)
1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A.22 B.20 C.10 D.11
2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）
A.2π B.3π C.π D.4π
3.在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，且ΔABC为等边三角形，AP=AB=2，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ）
A.272π B.283π C.263π D.252π
4.把球的体积扩大到原来的2倍，那么表面积扩大到原来的（ ）
A.2倍 B.34倍 C.43倍 D.32倍
5.若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.2
6.在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC，且AB=2.若三棱锥P?ABC的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )
A.6+63 B.8+63 C.8+85 D.6+85
7.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为（ ）
A.4?:?3 B.3?:?1 C.3?:?2 D.9?:?4
8.等体积的球和正方体的表面积S1,S2 的大小关系是（ ）
A.S1>S2 B.S1 C.S1=S2 D.无法确定
9.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则（ ）
A.如果S1,S2总相等，则V1=V2
B.如果S1=S2总相等，则V1与V2不一定相等
C.如果V1=V2 ，则S1,S2总相等
D.存在这样一个平面α使S1=S2相等，则V1=V2
二、填空题(共 25 分)
10.若正方形ABCD的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A′B′C'D′，则直观图A′B′C'D′的周长等于_____.
11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体P?ABC为鱉臑，PA⊥平面ABC，∠ABC为直角，且PA=AB=BC=2，则P?ABC的体积为________.
12.在ΔABC中，AB=AC=6，BC=4，AD是BC边上的中线，将ΔABD沿AD折起，使二面角C?AD?B等于120?，则四面体ABCD外接球的体积为______.
13.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为V1（三棱柱A1B1C1?FEC），V2两部分，那么V1:V2=______.
14.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式V≈136L2?.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈7264L2?相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为____.
三、解答题(共 30 分)
15.如图四棱锥P?ABCD中，底面ABCD 正方形，E为PD中点.
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）已知PA⊥平面ABCD且PA=AB=2，求三棱锥D?ACE体积.
16.如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）
17.在平面几何中可利用等积变换求三角形的面积，通常有两种方案：一是同一三角形选不同的边作为底边所得面积相等；二是不同的三角形利用“等底同高”或“等高同底”得到三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变换”求三棱锥的体积？如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1，的棱长为1，E为线段B1C上的一点，在求三棱锥A?DED1的体积时，随着E点的变化，底面ΔDED1的面积在变化，点A到底面的距离也在变化，导致体积难求.
（1）能否利用“等体积转换法”求解三棱锥A?DED1的体积？
（2）求三棱锥E?ADD1的体积关键是求高，即求E点到平面AA1D1D的距离，如何求出E点到平面AA1D1D的距离？
（3）求出三棱锥A?DED1的体积.
1205230011087100《作业推荐》—8.3空间几何体的表面积与体积
一、单选题(共 45 分)
1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A.22 B.20 C.10 D.11
【答案】A
【解析】
【分析】
根据长方体的表面积公式计算即可.
【详解】
所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了长方体的表面积公式,属于基础题型.
2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）
A.2π B.3π C.π D.4π
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式，计算即可．
【详解】
圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，
则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
3.在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，且ΔABC为等边三角形，AP=AB=2，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ）
A.272π B.283π C.263π D.252π
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出ΔABC的外接圆半径r，利用公式R=r2+PA22可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P?ABC的外接球的表面积.
【详解】
ΔABC的外接圆半径为r=AB2sinπ3=233，
∵PA⊥底面ABC，所以，三棱锥P?ABC的外接球半径为R=r2+PA22=2332+12=213，
因此，三棱锥P?ABC的外接球的表面积为4πR2=4π×2132=28π3.
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
4.把球的体积扩大到原来的2倍，那么表面积扩大到原来的（ ）
A.2倍 B.34倍 C.43倍 D.32倍
【答案】B
【解析】
【分析】
根据球的体积公式，分别求得原来球的体积和变大后的球的体积，进而得到变化前后半径之间的关系，再由球的表面积公式即可求解．
【详解】
设变化前后球的半径分别为r,r1，表面积分別为S,S1.由条件可知43πr13=43πr3?2,∴r1=32r，因此扩大后球的表面积S1=4πr12=4π32r2=34S.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了球的体积和表面积的计算与应用，其中解答中熟记球的体积公式、表面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5.若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
结合表面积,侧面为半圆,建立等式,即可.
【详解】
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为?，则πr2+πrl=3π，2πrl=π，所以l=2，r=1，?=3.
【点睛】
本道题考查了立体几何表面积计算公式,结合题意,建立方程,计算结果,即可,属于基础题.
6.在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC，且AB=2.若三棱锥P?ABC的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )
A.6+63 B.8+63 C.8+85 D.6+85
【答案】C
【解析】
【分析】
第一步确定球心位置在PC的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.
【详解】
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
设PC的中点为O，则O到P?ABC的四个顶点的距离都相等，
所以点O是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为43πR3=36π，得外接球半径R=3，所以PC=6.设PA=a,BC=b，则PA2+AB2+BC2=PC2，得a2+b2=32，
所以VP?ABC=13×12×2b×a=13ab?13×a2+b22=163，
当且仅当a=b=4时，VP?ABC取得最大值163.
此时PB=AC=42+22=25，
所以，三棱锥的表面积S=2×12×2×4+2×12×4×25=8+85.
故选：C.
【点睛】
本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积.
其解题规律：
(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.
(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．
(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．
7.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为（ ）
A.4?:?3 B.3?:?1 C.3?:?2 D.9?:?4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出轴截面如图所示，设球的半径为r，将圆锥的侧面积、球的表面积分别用r表示，即可得答案.
【详解】
画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD=r，PO=2r，∠PDO=90°，
∴∠CPB=30°.又∠PCB=90°，
∴CB=33PC=3r，PB=23r，
∴圆锥的侧面积S1=π×3r×23r=6πr2，球的表面积S2=4πr2，
∴S1:S2=3:2.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆锥的侧面积、球的表面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.
8.等体积的球和正方体的表面积S1,S2 的大小关系是（ ）
A.S1>S2 B.S1 C.S1=S2 D.无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据体积相等得出正方体棱长和球的半径的大小关系，求出表面积即可得解.
【详解】
设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意得V=43πR3=a3，
所以a=3V，R=33V4π.
所以S1=6a2=63V2=3216V2，
S2=4πR2=336πV2，
所以S1>S2.
故选：A
【点睛】
此题考查正方体和球体的体积表面积计算，根据体积相等得出等量关系，关键在于对代数式的准确化简.
9.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则（ ）
A.如果S1,S2总相等，则V1=V2
B.如果S1=S2总相等，则V1与V2不一定相等
C.如果V1=V2 ，则S1,S2总相等
D.存在这样一个平面α使S1=S2相等，则V1=V2
【答案】A
【解析】
【分析】
由祖暅原理的含义直接判断即可得出答案.
【详解】
如图所示：
由祖暅原理的含义可得当平面α∥β，并且和α平行的平面截得两个几何体的所得的截面面积S1=S2时，V1=V2，则A选项正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了祖暅原理的理解和应用，属于基础题.
二、填空题(共 25 分)
10.若正方形ABCD的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A′B′C'D′，则直观图A′B′C'D′的周长等于_____.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解，得到答案.
【详解】
根据斜二测画法画出图形后求出周长，如图，因为正方形ABCD的边长为1，
则由斜二测画法可得A′D′=1，B′C′=1，A′B′=12，D′C′=12，
所以四边形A′B′C′D′的周长为1+1+12+12=3.
【点睛】
本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体P?ABC为鱉臑，PA⊥平面ABC，∠ABC为直角，且PA=AB=BC=2，则P?ABC的体积为________.
【答案】43
【解析】
【分析】
计算出△ABC的面积，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥P?ABC的体积.
【详解】
由题意知PA⊥平面ABC，∠ABC=π2，PA=AB=BC=2，
所以△ABC的面积为S△ABC=12AB?BC=2，因此，VP?ABC=13S△ABC?PA=13×2×2=43.
故答案为：43.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
12.在ΔABC中，AB=AC=6，BC=4，AD是BC边上的中线，将ΔABD沿AD折起，使二面角C?AD?B等于120?，则四面体ABCD外接球的体积为______.
【答案】323π
【解析】
【分析】
由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD及底面外接圆的半径r，利用公式R=r2+AD22求出外接球的半径R，进而求出外接球的体积．
【详解】
因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，
在折起的过程中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，所以AD⊥平面BCD，
因为二面角C?AD?B等于120?，所以∠BDC=120?，且BD=CD=2，
AD=AB2?BD2=42，在ΔBCD中，∠CBD=∠BCD=30?，
ΔBCD外接圆半径为r=BD2sin30?=2，
设外接球的半径为R，则R=r2+AD22=22+222=23，
因此，所以外接球的体积为V=43πR3=43π×233=323π.
故答案为：323π.
【点睛】
本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．
13.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为V1（三棱柱A1B1C1?FEC），V2两部分，那么V1:V2=______.
【答案】3：4
【解析】
【分析】
设三棱台的高为?，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，计算体积得到答案.
【详解】
设三棱台的高为?，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，
∴V台=13?S+4S+2S=73S?，∴V1=S?,∴V1V2=S?73S??S?=34.
故答案为：3:4.
【点睛】
本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.
14.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式V≈136L2?.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈7264L2?相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为____.
【答案】227
【解析】
【分析】
由题意，讲圆锥体积公式V=13S?代入到近似公式中，即可求解圆周率π的近似值.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥底面圆周长L=2πr，
∴r=L2π，∴V=13πr2?=L2?12π，
令L2?12π=7264L2?，得π=227.
故答案为：227
【点睛】
本题考查中国传统文化，利用圆锥体积公式，近似计算圆周率，是基础题.
三、解答题(共 30 分)
15.如图四棱锥P?ABCD中，底面ABCD 正方形，E为PD中点.
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）已知PA⊥平面ABCD且PA=AB=2，求三棱锥D?ACE体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）23
【解析】
【分析】
(1)连接BD交AC与O,连接OE,根据中位线定理即可证明OE∥PB,从而证明PB∥平面ACE;
(2)根据VD?ACE=VE?ACD=12VP?ACD,由三棱锥体积公式即可求解.
【详解】
(1)连接BD交AC与O,连接OE
则OE∥PB,又OE?平面AEC,且PB?平面AEC
所以PB∥平面ACE
(2)取AD的中点F,连接EF,则PA∥EF
∵PA⊥平面ABCD
∴VD?ACE=VE?ACD=12VP?ACD.
=12[13×(12AD×CD)×PA]
=12×[13×(12×2×2)×2]=23
【点睛】
本题考查了直线与平面的平行判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.
16.如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）
【答案】14359cm2
【解析】
【分析】
上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者相加即为需要瓷砖面积．
【详解】
解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.
S四棱柱侧=4×40×80=12800cm2，
四棱台的斜高?′=102?50?4022=53(cm)，
S四棱台侧=4×40+502×53≈1559cm2
故需要瓷砖的面积为12800+1559=14359cm2.
【点睛】
本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基础题．
17.在平面几何中可利用等积变换求三角形的面积，通常有两种方案：一是同一三角形选不同的边作为底边所得面积相等；二是不同的三角形利用“等底同高”或“等高同底”得到三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变换”求三棱锥的体积？如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1，的棱长为1，E为线段B1C上的一点，在求三棱锥A?DED1的体积时，随着E点的变化，底面ΔDED1的面积在变化，点A到底面的距离也在变化，导致体积难求.
（1）能否利用“等体积转换法”求解三棱锥A?DED1的体积？
（2）求三棱锥E?ADD1的体积关键是求高，即求E点到平面AA1D1D的距离，如何求出E点到平面AA1D1D的距离？
（3）求出三棱锥A?DED1的体积.
【答案】（1）能；（2）见解析；（3）16
【解析】
【分析】
（1）选ΔADD1为底面，底面积不变，点E到面ADD1的距离不变即可判断.
（2）由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB1C1C平行，故E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离.
（3）利用（1）（2）借助三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】
（1）选ΔADD1为底面，则底面积不变，利用同一几何体的等积变换得，
三棱锥A?DED1的体积等于三棱锥E?ADD1的体积.
（2）由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB1C1C平行，
因此E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离，
利用“等底同高”体积相等得，
三棱锥E?ADD1的体积等于三棱锥C?ADD1的体积.
（3）由问题1、2得，VA?DED1=VE?ADD1=VC?ADD1=13×12×1×1×1=16.
【点睛】
本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，属于基础题.