单元素养评价(四)-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

单元素养评价(四)
(第7、8章)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.下列各个角中与2 020°终边相同的是 (　　)
A.-150° B.680° C.220° D.320°
2.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=　　cm(　　)?
A. B. C. D.
3.(2020·濮阳高一检测)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 (　　)
x 3 4 5.15 6.126
y 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=(x2-1) B.y=2x-2
C.y=log2x D.y=lox
4.已知θ∈,则2 sin θ+= (　　)
A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ
C.3sin θ-cos θ D.3sin θ+cos θ
5.已知tan α=2,则cos2α= (　　)
A. B. C. D.
6.若x0=cos x0,则 (　　)
A.x0∈ B.x0∈
C.x0∈ D.x0∈
7.已知函数f(x)=2sin(πx+1),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为 (　　)
A.2 B.1 C.4 D.
8.已知f(α)=,
则f的值为 (　　)
A.- B. C.- D.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知角α的终边与单位圆交于点,则= (　　)
A. B.- C. D.
10.有下列四种变换方式:
①向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);
②横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度;
③横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度;
④向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变).
其中能将正弦函数y=sin x的图象变为y
=sin图象的是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
11.将函数y=3tan的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,下列结论正确的是 (　　)
A.函数y=g(x)的图象关于点对称
B.函数y=g(x)的图象最小正周期为π
C.函数y=g(x)的图象在上单调递增
D.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
12.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等.它是未来汽车的发展方向.一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线,这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系.已知产量为0时,创造的价值也为0;当产量为40 000辆时,创造的价值达到最大6 000万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元,则它可能生产的新能源汽车数量是　　　辆. (　　)?
A.30 000 B.40 000
C.50 000 D.60 000
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为　　　　.?
14.已知函数f(x)=sin(ω>0),若当x=时,函数f(x)取得最大值,则ω的最小值为　　　　.?
15.若函数f(x)=tan(ωx+φ)的一个单调区间为,且f(0)=,则f=　　　　.?
16.(2020·朝阳高一检测)已知函数f(x)=其中k≥0.
(1)若k=2,则f(x)的最小值为　　　　;?
(2)关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.?
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知sin θ-2cos θ=0.
(1)若θ∈,求sin θ,cos θ及tan θ的值;
(2)求的值.
18.(12分)已知函数f(x)=2sin,其中ω>0.
(1)若f(x+θ)是最小正周期为2π的偶函数,求ω和θ的值;
(2)若f(x)在上是增函数,求ω的最大值.
19.(12分)已知函数f(x)=asin+a+b,当x∈时,函数f(x)的值域是[-,2].
(1)求常数a,b的值;
(2)当a<0时,设g(x)=f,判断函数g(x)在上的单调性.
【补偿训练】
　　　已知函数f(x)=sin,
(1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象:
2x+ 0
π
2π
x




f(x)




(2)求f(x)的对称轴与对称中心;
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值以及对应x的值.
20.(12分)(2020·赤峰高一检测)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式S=已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.
(1)求k的值;
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大?并求出最大值.
21.(12分)滨海市政府今年加大了招商引资的力度,吸引外资的数量明显增加.一外商计划在滨海市投资两个项目,总投资20亿元,其中甲项目的10年收益额X(单位:亿元)与投资额x(单位:亿元)满足X=8+x,乙项目的10年收益额Y(单位:亿元)与投资额y(单位:亿元)满足Y=y2-10,并且每个项目至少要投资2亿元.设两个项目的10年收益额之和为f(x).
(1)求f(10);
(2)如何安排甲、乙两个项目的投资额,才能使这两个项目的10年收益额之和f(x)最大?
22.(12分)某公司对营销人员有如下规定:
(ⅰ)年销售额x(万元)不大于8时,没有年终奖金;
(ⅱ)年销售额x(万元)大于8时,年销售额越大,年终奖金越多.此时,当年销售额x(万元)不大于64时,年终奖金y(万元)按关系式y=logax+b(a>0,且a≠1)发放;当年销售额x(万元)不小于64时,年终奖金y(万元)为年销售额x(万元)的一次函数.经测算,当年销售额分别为16万元,64万元,80万元时,年终奖金依次为1万元,3万元,5万元.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元,求该营销人员年销售额x(万元)的取值范围.
单元素养评价(四)
(第7、8章)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.下列各个角中与2 020°终边相同的是 (　　)
A.-150° B.680° C.220° D.320°
【解析】选C.因为2 020°=5×360°+220°,
所以与2 020°终边相同的是220°.
2.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=　　cm(　　)?
A. B. C. D.
【解析】选B.因为扇形的圆心角α=120°,
弦长AB=12 cm,所以半径r==4,
所以弧长l=|α|r=×4=.
3.(2020·濮阳高一检测)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 (　　)
x 3 4 5.15 6.126
y 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=(x2-1) B.y=2x-2
C.y=log2x D.y=lox
【解析】选A.对于选项A:各组数据都很接近,故y=(x2-1)可以近似地表示这些数据的规律,对于选项B:当x=5.15时,y=8.3,与实际数据相差较大,当x=6.126时,y=10.252,与实际数据相差较大,故选项B不合适,对于选项C;当x=4时,y=2,与实际数据相差较大,故选项C不合适,对于选项D:y=lox是减函数,显然不符合题意.
4.已知θ∈,则2 sin θ+= (　　)
A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ
C.3sin θ-cos θ D.3sin θ+cos θ
【解析】选A.因为θ∈,则cos θ>sin θ,由三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系得,
2sin θ+
=2sin θ+
=2sin θ+cos θ-sin θ=sin θ+cos θ.
5.已知tan α=2,则cos2α= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为cos2α
==,
且tan α=2,所以cos2α==.
6.若x0=cos x0,则 (　　)
A.x0∈ B.x0∈
C.x0∈ D.x0∈
【解析】选C.x0=cos x0,方程的根就是函数
f(x)=x-cos x的零点,函数是连续函数,
并且f=-cos=-<0,
f=->0,所以f·f<0,
所以函数的零点在之间,
所以x0∈.
7.已知函数f(x)=2sin(πx+1),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为 (　　)
A.2 B.1 C.4 D.
【解析】选B.由于函数f(x)=2sin(πx+1)的周期为=2,对于任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,可知f(x1)是函数的最小值,f(x2)是函数的最大值,|x1-x2|的最小值就是函数的半周期=1.
8.已知f(α)=,
则f的值为 (　　)
A.- B. C.- D.
【解题指南】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出f(α),即可求出所求式子的值.
【解析】选B.f(α)==cos α,
则f=cos=cos
=cos=.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知角α的终边与单位圆交于点,则= (　　)
A. B.- C. D.
【解析】选AB.因为角α的终边与单位圆交于点,所以+=1,
所以y0=±,所以tan α==±.
则当tan α=时,==;
当tan α=-时,==-.
10.有下列四种变换方式:
①向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);
②横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度;
③横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度;
④向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变).
其中能将正弦函数y=sin x的图象变为y
=sin图象的是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
【解题指南】结合选项中的各种变换顺序,求出经过相应的变换后的函数解析式,进行比较即可判断.
【解析】选CD.①y=sin x向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)可得y=sin;
②y=sin x横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度可得y=sin;
③y=sin x横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度可得y=sin;
④y=sin x向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)可得y=sin.
11.将函数y=3tan的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,下列结论正确的是 (　　)
A.函数y=g(x)的图象关于点对称
B.函数y=g(x)的图象最小正周期为π
C.函数y=g(x)的图象在上单调递增
D.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
【解析】选AC.函数y=3tan的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移个单位长度,
得到函数y=g(x)=3tan的图象,
当x=时,g=0,故选项A正确.
函数的最小正周期为,故B错误.
由于函数在一个周期为单调递增,故C正确.
对于正切型函数不存在对称轴,故D错误.
12.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等.它是未来汽车的发展方向.一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线,这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系.已知产量为0时,创造的价值也为0;当产量为40 000辆时,创造的价值达到最大6 000万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元,则它可能生产的新能源汽车数量是　　　辆. (　　)?
A.30 000 B.40 000
C.50 000 D.60 000
【解析】选AC.设y=ax2+bx(a≠0),
因为当产量为40 000辆时,
创造的价值达到最大6 000万元,
所以
解得
所以y=-x2+x,
令y=5 625得-x2+x=5 625,
解得:x=30 000或50 000.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为　　　　.?
【解析】因为f(x)=cos=0,
所以3x+=+kπ,k∈Z,
所以x=+kπ,k∈Z,
当k=0时,x=,当k=1时,x=π,
当k=2时,x=π,当k=3时,x=π,
因为x∈[0,π],所以x=,或x=π,或x=π,故零点的个数为3.
答案:3
14.已知函数f(x)=sin(ω>0),若当x=时,函数f(x)取得最大值,则ω的最小值为　　　　.?
【解析】当x=时,f(x)取得最大值,
即f=sin=1,
即ω-=+2kπ,k∈Z,即ω=12k+5,k∈Z,由于ω>0,所以当k=0时,ω的最小值为5.
答案:5
15.若函数f(x)=tan(ωx+φ)的一个单调区间为,且f(0)=,则f=　　　　.?
【解析】函数f(x)=tan(ωx+φ)
的一个单调区间为,
则T=,解得ω=2,
由于f(0)=,则φ=,
故f(x)=tan,则f=tan=.
答案:
16.(2020·朝阳高一检测)已知函数f(x)=其中k≥0.
(1)若k=2,则f(x)的最小值为　　　　;?
(2)关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.?
【解析】(1)若k=2,则f(x)=
作函数f(x)的图象如图所示,
显然,当x=0时,函数f(x)取得最小值,
且最小值为f(0)=-1.
(2)令m=f(x),显然f(m)=0有唯一解m=1,
由题意,f(x)=1有两个不同的零点,
由图观察可知,k<1,
又k≥0,则实数k的取值范围为0≤k<1.
答案:(1)-1　(2)[0,1)
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知sin θ-2cos θ=0.
(1)若θ∈,求sin θ,cos θ及tan θ的值;
(2)求的值.
【解析】(1)因为sin θ-2cos θ=0,所以tan θ=2,
又因为sin2θ+cos2θ=1,
所以5cos2θ=1,因为θ∈,
所以cos θ=,sin θ=.
(2)====1.
18.(12分)已知函数f(x)=2sin,其中ω>0.
(1)若f(x+θ)是最小正周期为2π的偶函数,求ω和θ的值;
(2)若f(x)在上是增函数,求ω的最大值.
【解析】(1)由f(x)=2sin,
其中ω>0,
所以f(x+θ)=2sin,
因为f(x+θ)是最小正周期为2π的偶函数,
所以=2π,所以ω=,
因为3ωθ+=θ+=kπ+,k∈Z,
即 θ=kπ+,k∈Z.
综上可得,ω=,θ=kπ+,k∈Z.
(2)f(x)=2sin在上是增函数,在上,
3ωx+∈,
所以ωπ+≤,
所以ω≤,即ω的最大值为.
19.(12分)已知函数f(x)=asin+a+b,当x∈时,函数f(x)的值域是[-,2].
(1)求常数a,b的值;
(2)当a<0时,设g(x)=f,判断函数g(x)在上的单调性.
【解析】(1)当x∈时,2x+∈,
所以sin∈.
①当a>0时,由题意可得
即解得a=2,b=-2.
②当a<0时,由题意可得
即
解得a=-2,b=4-.
(2)当a<0时,f(x)=-2sin+2-,
所以g(x)=f
=-2sin+2-
=2sin+2-;
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
当k=0时,由∩=,
所以函数g(x)在上单调递增.
同理,函数g(x)在上单调递减.
【补偿训练】
　　　已知函数f(x)=sin,
(1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象:
2x+ 0
π
2π
x




f(x)




(2)求f(x)的对称轴与对称中心;
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值以及对应x的值.
【解析】(1)
2x+ 0
π
2π
x -



f(x) 0 1 0 -1 0
(2)令2x+=+kπ,
即对称轴为:x=+(k∈Z).
令2x+=kπ,
即对称中心为:(k∈Z).
(3)当x∈时,2x+∈,由函数图象性质可有,
当2x+=-,
即x=-时,f(x)max=f=1.
当2x+=-,
即x=-时,f(x)min=f=-.
20.(12分)(2020·赤峰高一检测)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式S=已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.
(1)求k的值;
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大?并求出最大值.
【解析】(1)由题意得
L=
因为x=2时,L=3,所以3=2×2++2,
所以k=18.
(2)当0L=2x++2=2(x-8)++18
=-+18≤
-2+18=6,
当且仅当2(8-x)=,即x=5时取等号.
当x≥6时,L=11-x≤5,所以当x=5时,L取得最大值6,所以当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万元.
21.(12分)滨海市政府今年加大了招商引资的力度,吸引外资的数量明显增加.一外商计划在滨海市投资两个项目,总投资20亿元,其中甲项目的10年收益额X(单位:亿元)与投资额x(单位:亿元)满足X=8+x,乙项目的10年收益额Y(单位:亿元)与投资额y(单位:亿元)满足Y=y2-10,并且每个项目至少要投资2亿元.设两个项目的10年收益额之和为f(x).
(1)求f(10);
(2)如何安排甲、乙两个项目的投资额,才能使这两个项目的10年收益额之和f(x)最大?
【解析】(1)由题意可知甲项目投资为10亿元,
乙项目投资20-10=10(亿元),
所以f(10)=8+×10+×102-10=28(亿元).
(2)由题意可知乙项目的投资额为20-x,
且解得2≤x≤18,
所以f(x)=8+x+×(20-x)2-10
=x2-x+98
=(x-19)2+,x∈[2,18];
所以当x=2时,f(x)的最大值为f(2)=80(亿元).即甲项目投资额为2亿元,乙项目投资额为18亿元时,这两个项目的10年收益额之和f(x)最大,为80亿元.
22.(12分)某公司对营销人员有如下规定:
(ⅰ)年销售额x(万元)不大于8时,没有年终奖金;
(ⅱ)年销售额x(万元)大于8时,年销售额越大,年终奖金越多.此时,当年销售额x(万元)不大于64时,年终奖金y(万元)按关系式y=logax+b(a>0,且a≠1)发放;当年销售额x(万元)不小于64时,年终奖金y(万元)为年销售额x(万元)的一次函数.经测算,当年销售额分别为16万元,64万元,80万元时,年终奖金依次为1万元,3万元,5万元.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元,求该营销人员年销售额x(万元)的取值范围.
【解析】(1)因为8所以,
解得.
所以8又因为x≥64时,y是x的一次函数,
设y=kx+m(k≠0),
由题意可得:
解得.
所以x≥64时,y=x-5.
所以y关于x的函数解析式为
y=
(2)当0≤x≤8时,不合题意;
当8解得32当x>64时,x-5<4,解得x<72,
所以64该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元,其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元.