单元素养评价(三)-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

单元素养评价(三)
(第6章)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=(　　)
A.a B.-a C.±a D.|a|
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是
(　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
3.函数y=的值域是 (　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
4.(2020·龙海高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)= (　　)
A.2 B.4 C.-2 D.-4
5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>1,c>1 B.a>1,0C.01 D.06.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)= (　　)
A.- B.- C.- D.-
7.(2020·三明高一检测)已知函数f(x)=的值域为[-8,1],则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
8.(2020·永清高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数;②存在[m,n]?D使f(x)在[m,n]上的值域为,那么就称y=f(x)为“成功函数”,若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“成功函数”,则t的取值范围是、
(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-3
B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减
C.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)
D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞)有≤f
10.对于0A.loga(1+a)B.loga(1+a)>loga
C.a1+a<
D.a1+a>
11.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 (　　)
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
12.(2020·滕州高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若0三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020·沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图象过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为　　　　.?
14.(2020·石嘴山高一检测)不等式>1的解集是　　　　.?
15.设f(x)=则f(f(2))=　　　　.?
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=　　　　,f=　　　　.?
四、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.
(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;
(2)解不等式f(x)>16-9×2x;
(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围.
18.(12分)若函数y=f(x)=为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数的定义域;
(3)求函数的值域.
19.(12分)已知a>2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)≤f(3)的解集.
20.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
21.(12分)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
22.(12分)(2020·南京高一检测)函数f(x)=log2(4x-1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若x∈[1,2],函数g(x)=2f(x)-m·2x+1是否存在实数m使得g(x)的最小值;为,若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
单元素养评价(三)
(第6章)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=(　　)
A.a B.-a C.±a D.|a|
【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,
所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是
(　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.
3.函数y=的值域是 (　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
【解析】选D.由于≥0,
所以函数y=≥30=1,
故函数的值域为[1,+∞).
4.(2020·龙海高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)= (　　)
A.2 B.4 C.-2 D.-4
【解析】选C.由题意可得f(6)=log2(6+2)-1=2,由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以,f(-6)=-f(6)=-2.
5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>1,c>1 B.a>1,0C.01 D.0【解析】选D.因为函数单调递减,所以0当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,
当x=0时loga(x+c)=logac>0,
即c<1,即06.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)= (　　)
A.- B.- C.- D.-
【解析】选A.由于f(a)=-3,①若a≤1,
则2a-1-2=-3整理得2a-1=-1,由于2x>0,所以2a-1=-1无解,②若a>1,则-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,
所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.
7.(2020·三明高一检测)已知函数f(x)=的值域为[-8,1],则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
【解析】选B.当0≤x≤4时f(x)=-x2+2x
=-(x-1)2+1,所以-8≤f(x)≤1;
当a≤x<0时,f(x)=-,
所以-≤f(x)<1,
因为f(x)的值域为[-8,1],
所以故-3≤a<0.
8.(2020·永清高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数;②存在[m,n]?D使f(x)在[m,n]上的值域为,那么就称y=f(x)为“成功函数”,若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“成功函数”,则t的取值范围是、
(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“成功函数”,当a>1时,f(x)在其定义域内为增函数,
当0所以f(x)在其定义域内为增函数,
由题意得f(x)=loga(ax+t)=,
所以ax+t=,ax-+t=0,令m=>0,
所以m2-m+t=0有两个不同的正数根,
所以,解得t∈.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-3
B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减
C.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)
D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞)有≤f
【解析】选CD.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=,故A错误;
函数f(x)=是偶函数且在上单调递减,故在上单调递增,B错误;
幂函数y=xα(α>0)始终经过点和,C正确;任意的x1,x2∈[0,+∞),
要证≤f,
即证≤,
即证≤,
即证(-)2≥0,易知成立,故D正确.
10.对于0A.loga(1+a)B.loga(1+a)>loga
C.a1+a<
D.a1+a>
【解析】选B、D.因为0所以a<,从而1+a<1+.
所以loga(1+a)>loga.
又因为0.
11.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 (　　)
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
【解析】选ACD.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则>0,若x10,故C正确;
f<说明函数是凹函数,
而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
12.(2020·滕州高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若0【解析】选ACD.由题知2=loga4,a=2,
故f(x)=log2x.对A,函数为增函数,正确.
对B,f(x)=log2x不为偶函数.
对C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立.
对D,因为f(x)=log2x往上凸,故若0三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020·沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图象过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为　　　　.?
【解析】设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(2,),
所以f(2)=2α=,所以α=,则f(x)=,y=+1-x=-+,故其最大值为.
答案:
14.(2020·石嘴山高一检测)不等式>1的解集是　　　　.?
【解析】>1?x2-2x-3<0?-1答案:
15.设f(x)=则f(f(2))=　　　　.?
【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=　　　　,f=　　　　.?
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)===-,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,
所以f=,
所以f===2-3.
答案:1　2-3
四、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.
(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;
(2)解不等式f(x)>16-9×2x;
(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围.
【解析】(1)设t=2x,因为x∈[-1,1],
所以t∈,y=t-t2=-+,
所以t=时,f(x)max=,t=2时,
f(x)min=-2.
所以f(x)的值域为.
(2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,即t2-10t+16<0,所以2(3)方程有解等价于m在1-f(x)的值域内,
所以m的取值范围为.
18.(12分)若函数y=f(x)=为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数的定义域;
(3)求函数的值域.
【解析】因为函数y=f(x)==a-,
(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,即2a--=0,所以a=-.
(2)因为y=--,
所以3x-1≠0,即x≠0.
所以函数y=--的定义域为{x|x≠0}.
(3)因为x≠0,所以3x-1>-1.
因为3x-1≠0,
所以-1<3x-1<0或3x-1>0.
所以-->或--<-.
即函数的值域为.
19.(12分)已知a>2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)≤f(3)的解集.
【解析】(1)由题意得:解得
因为a>2,所以2故f(x)的定义域为.
(2)因为a=4,所以f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x),f(3)=log41-log41=0,
因为f(2x-5)≤f(3),
所以log4(2x-7)-log4(9-2x)≤0,
即log4(2x-7)≤log4(9-2x),
从而解得故不等式f(2x-5)≤f(3)的解集为.
20.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,
所以A=5·e0.06n;
当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.
(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06
=2·,
令2·>100,
可得n>22.7.
所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.
21.(12分)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,
则f(0)=0,求得a=0.
又此时f(x)=-x是R上的奇函数.
所以a=0为所求.
(2)函数f(x)的定义域是一切实数,
则+a>0恒成立.
即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0).
故只要a≥0即可.
(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),
最小值是f(1)=log2.
由题设log2(1+a)-log2≥2?.
故-22.(12分)(2020·南京高一检测)函数f(x)=log2(4x-1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若x∈[1,2],函数g(x)=2f(x)-m·2x+1是否存在实数m使得g(x)的最小值;为,若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意4x-1>0,所以4x>1,
则x>0,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)g(x)=2f(x)-m·2x+1=-m·2x+1=4x-1-m·2x+1=4x-m·2x.
令t=2x,因为x∈[1,2],所以t∈[2,4],
则h(t)=t2-mt,t∈[2,4],对称轴为t=,
①若t=≤2,即m≤4时,h(t)在[2,4]上为增函数,此时当t=2时最小,即h(2)=4-2m=,解得m=成立;②若t=≥4,即m≥8时,h(t)在[2,4]上为减函数,此时当t=4时最小,即h(4)=16-4m=,解得m=(舍去);③若t=∈(2,4),即4