2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德八年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，下列的四个图象中，不能表示y是x的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．7，24，25 B．，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
4．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C的大小是（　　）
A．20° B．40° C．70° D．75°
5．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了图说党史比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是84 C．平均数是85 D．方差是84
6．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则CD长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
8．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
9．如图，直线y＝2x+1和直线y＝kx+3相交于点，则关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是 　 　．
12．甲、乙两射击运动员10次射击训练的平均成绩恰好都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.85，S乙2＝1.45，则在本次测试中，　 　运动员的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）．
13．若直线y＝x﹣1上有两点A（x1，﹣3）和B（x2，1），则x1　 　x2（填“＞”或“＜”）．
14．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD、BD的中点，若EF＝2，则BC长为 　 　．
16．如图，在?ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是 　 　．
三、解答题（共9个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明或演算过程）
17．计算：．
18．在四边形ABCD中，已知AB＝10，BC＝6，AD＝8，且AC⊥BC于点C．试求：
（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
19．解一元二次方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣6＝2（x+1）．
20．某校要选举一名学生会主席，先对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，成绩如下表，又进行了学生投票，每个学生都投了一张票，且选票上只写了三名候选人中的一名，每张选票记0.5分，对选票进行统计后，绘有如图1，图2尚不完整的统计图．
笔试、面试成绩统计表
甲 乙 丙
笔试成绩（分） 90 86 90
面试成绩（分） 85 85 87
请完成下列问题：
（1）乙的得票率是 　 　，选票的总数为 　 　；
（2）补全图2的条形统计图；
（3）根据实际情况，学校选取票数最多的两位学生，从笔试、面试、学生投票三项得分按2：4：4的比例确定每人最终成绩，高者当选，请通过计算说明，哪位候选人当选？
21．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积是多少？
22．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：?ABCD是矩形；
（2）求点A到线段BD的距离．
23．为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
24．我们知道一次函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）互为“M”函数．
（1）请直接写出函数y＝2x+5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC＝90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标．
25．【基础巩固】
（1）如图1，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝4，分别以AB，AC为边向外作两个等腰直角三角形BAD和CAE，使得∠BAD＝∠CAE＝90°，连接DE，求DE的长．
【拓展提高】
（3）如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点P．若BP2+CP2＝60，求菱形的周长．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列的四个图象中，不能表示y是x的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不合题意；
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系故C不合题意；
D、，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意；
故选：D．
2．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．（）2＝3，故此选项不合题意；
B.+无法合并，故此选项不合题意；
C.÷＝2，故此选项符合题意；
D.×＝，故此选项不合题意．
故选：C．
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．7，24，25 B．，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
解：A、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+52＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、52+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C的大小是（　　）
A．20° B．40° C．70° D．75°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故选：C．
5．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了图说党史比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是84 C．平均数是85 D．方差是84
解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，
A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；
B、数据的中位数为＝84，此选项正确，不符合题意；
C、数据的平均数为×（82+82+83+85+86+92）＝85，此选项正确，不符合题意；
D、方差为×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选项错误，符合题意；
故选：D．
6．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则CD长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，
∴DE⊥AC，AE＝EC，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴AD＝DB，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴CD＝AB＝2.5，
故选：B．
8．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
9．如图，直线y＝2x+1和直线y＝kx+3相交于点，则关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（　　）
A． B． C． D．
解：由函数图象可知，当x≥时，直线y＝2x+1的图象不在直线y＝kx+3的图象的下方，
∵当x≥时，kx+3≤2x+1，
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（　　）
A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
∴EC＝＝＝，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是 　m≥2　．
解：式子在实数范围内有意义，
则m﹣2≥0，
解得：m≥2．
故答案为：m≥2．
12．甲、乙两射击运动员10次射击训练的平均成绩恰好都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.85，S乙2＝1.45，则在本次测试中，　甲　运动员的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）．
解：∵S甲2＝0.85，S乙2＝1.45，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲运动员比乙运动员的成绩稳定；
故答案为：甲．
13．若直线y＝x﹣1上有两点A（x1，﹣3）和B（x2，1），则x1　＜　x2（填“＞”或“＜”）．
解：∵直线y＝x﹣1上有两点A（x1，﹣3）和B（x2，1），
∴﹣3＝x1﹣1，1＝x2﹣1．
∴x1＝﹣2，x2＝2，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
14．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　﹣1　．
解：设方程的两个根为a、b，
∴a+b＝﹣3，
∵方程的一根a＝﹣2，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD、BD的中点，若EF＝2，则BC长为 　4　．
解：∵点E，F分别是边AD、BD的中点，
∴AB＝2EF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
故答案为：4．
16．如图，在?ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是 　　．
解：∵将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，
∴△ABC≌△AB'C，
∴AB＝AB'，∠B＝∠AB'C，∠ACB＝∠ACB'
∵∠B＝60°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB'＝45°，
∴∠BCB'＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴△EAC为等腰直角三角形，
∵AC＝，
∴AE＝EC＝，
∵平行四边形ABCD，
∴∠ADC＝∠B＝60°，
在Rt△CDE中，ED＝1，CD＝2，
∴AB＝AB'＝2，
在Rt△AEB'中，B'E＝1，
在Rt△EDB'中，B'D＝，
故答案为．
三、解答题（共9个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明或演算过程）
17．计算：．
解：原式＝3+2﹣2+1
＝4．
18．在四边形ABCD中，已知AB＝10，BC＝6，AD＝8，且AC⊥BC于点C．试求：
（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
解：（1）∵AB＝10，BC＝6，AC⊥BC，
∴AC＝8；
（2）∵AD＝8，AC＝8，CD＝8，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴∠CAD＝90°，
又∵AD＝AC＝8，
∴∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝90°+45°＝135°．
19．解一元二次方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣6＝2（x+1）．
解：（1）∵x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）方程整理为x2﹣2x﹣8．
（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
20．某校要选举一名学生会主席，先对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，成绩如下表，又进行了学生投票，每个学生都投了一张票，且选票上只写了三名候选人中的一名，每张选票记0.5分，对选票进行统计后，绘有如图1，图2尚不完整的统计图．
笔试、面试成绩统计表
甲 乙 丙
笔试成绩（分） 90 86 90
面试成绩（分） 85 85 87
请完成下列问题：
（1）乙的得票率是 　36%　，选票的总数为 　400　；
（2）补全图2的条形统计图；
（3）根据实际情况，学校选取票数最多的两位学生，从笔试、面试、学生投票三项得分按2：4：4的比例确定每人最终成绩，高者当选，请通过计算说明，哪位候选人当选？
解：（1）1﹣30%﹣34%＝36%　136÷34%＝400．
故答案为：36%，400；
（2）400×30%＝120（人），补图如下：
（3）将笔试、面试、学生投票三项得分按2：4：4的比例确定每人的最终成绩为：
甲的成绩：90×0.2+85×0.4+136×0.5×0.4＝79.2（分），
乙的成绩：86×0.2+85×0.4+144×0.5×0.4＝80（分），
丙的成绩：90×0.2+87×0.4+120×0.5×0.4＝76.8（分），
∵80＞79.2＞76.8，
∴乙当选．
21．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积是多少？
解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴△OPA的面积＝OA?|yP|，
∴S＝×6×|y|＝3y．
∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x．
∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x；
∵S＝﹣3x+24＞0，
解得：x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范围为：0＜x＜8；
∵S＝﹣3x+24，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（8，0），（0，24）．
所画图象如下：
（2）∵S＝﹣3x+24，
∴当x＝5时，S＝﹣3×5+24＝9．
即当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为9．
22．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：?ABCD是矩形；
（2）求点A到线段BD的距离．
【解答】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，
∴BD＝AC，
∴?ABCD是矩形；
（2）解：∵?ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝4，
设点A到线段BD的距离为h，
∵S△ABD＝BD?h＝AB?AD，
∴8h＝4×4，
∴h＝2，
即点A到线段BD的距离为2．
23．为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（35，550）、（40，500）代入y＝kx+b，得
．
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+900；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，
则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+900）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000．
整理，得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70．
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
24．我们知道一次函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）互为“M”函数．
（1）请直接写出函数y＝2x+5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC＝90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标．
【解答】（1）解：根据互为“M”函数的定义，
∴函数y＝2x+5的“M”函数为y＝﹣2x+5；
（2）解：根据题意，y＝mx+n 和 y＝﹣mx+n 为一对“M函数”．
∴AB＝AC，
又∵∠BAC＝90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠BAO＝∠CAO＝45°，
∴OA＝OB＝OC，
又∵ 且 BC＝2AO，
∴，
∵A、B、C是一次函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象于坐标轴的交点，
∴A（0，n），B（﹣，0），C（，0），
∵OA＝OB＝n，
∴＝2，
∴m＝1，
∴ 和 ；
（3）解：根据等腰三角形的性质，分情况，
∵，
∴AB＝4，
由（2）知，A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），
∴①以 A 为顶点，则 AB＝AD，
当点D在点A上方时，AD＝2+4，
当点D在点A下方时，AD＝2﹣4，
∴D1（0，2+4），D2（0，2﹣4），
②以 B 为顶点，则 BA＝BD，
此时点D在y轴负半轴，
∴D3（0，﹣2），
③以 D 为顶点，则 DA＝DB，
此时D为坐标原点，
∴D4（0，0）．
∴D点坐标为 D1（0，2+4），D2（0，2﹣4），D3（0，﹣2），∴D4（0，0）．
25．【基础巩固】
（1）如图1，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝4，分别以AB，AC为边向外作两个等腰直角三角形BAD和CAE，使得∠BAD＝∠CAE＝90°，连接DE，求DE的长．
【拓展提高】
（3）如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点P．若BP2+CP2＝60，求菱形的周长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，
∴OA2+OB2＝AB2，OB2+OC2＝BC2，OC2+OD2＝CD2，OD2+OA2＝AD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OD2+OA2+OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解：连接CD、BE交于点F，BE交AD于G，如图2所示：
∵△BAD和△CAE是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠ABE+∠AGB＝90°，∠DGF＝∠AGB，
∴∠ADC+∠DGF＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∴BE⊥CD，
由（1）得：BD2+CE2＝BC2+DE2，
在Rt△ABD中，AD＝AB＝3，
∴BD＝AB＝3，
在Rt△ACE中，AE＝AC＝4，
∴CE＝AC＝4，
∴（3）2+（4）2＝62+DE2，
解得：DE＝；
（3）解：连接EF，如图3所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AD∥BC，
∵点E，F分别是OA，OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，EF＝AD＝BC，
∴EF是△BCP的中位线，
∴EP＝BE＝BP，CF＝FP＝CP，
在四边形BCFE中，CE⊥BF，
∴BE2+CF2＝BC2+EF2，
即（BP）2+（CP）2＝BC2+（BC）2，
∴（BP2+CP2）＝BC2，
∵BP2+CP2＝60，
∴×60＝BC2，
∴BC＝＝2，
∴菱形的周长＝4BC＝8．