2020-2021学年湖南省长沙市湘一部分学校联考八年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年湖南省长沙市部分学校联考八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分）.
1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×106 B．3×107 C．3×106 D．30×105
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
4．下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．若点A（2，m）在正比例函数y＝x的图象上，则m的值是（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
6．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．2a2﹣a2＝2 C．（a2）3＝a5 D．a5?a2＝a7
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
9．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＞4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共6题）
11．直线y＝﹣x+1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是　 　．
12．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
13．数据1，2，3，0，﹣3，﹣2，﹣1的中位数是　 　．
14．在新年晚会的投飞镖游戏环节中，5名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，8，7，10，8，则这组数据的方差是 　 　．
15．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为　 　cm．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论序号有：　 　．
三、解答题（共9大题）
17．计算：（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1﹣|1﹣|．
18．先化简，再求值，÷，其中m＝1．
19．一次函数y＝kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x＝10时，y的值是多少？
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的点，DE∥BF．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求证：AF＝CE．
21．某校倡议八年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时） 频数（人数） 频率
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 x 0.5
2 8 y
合计 m 1
（1）统计表中的m＝　 　，x＝　 　，y＝　 　；
（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）请将条形图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若OE＝2，求AB的长．
23．将220吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
大货车 700 800
小货车 400 600
（1）这两种货车各需多少辆？
（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，请写出运费W（元）与a的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费．
24．对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若x，y满足|y﹣x|＝1，则点P（x，y）就称为“完美点”．例如：（5，6），因为|6﹣5|＝1，所以（5，6）是“完美点”．
（1）点M（3，2）　 　“完美点”；点N（﹣2，3）　 　“完美点”（填“是”或“不是”）；
（2）已知一次函数y＝3x+m（m为常数）图象上有一个“完美点”的坐标是（1，2），一次函数y＝3x+m（m为常数）图象上是否存在其他“完美点”？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
（3）点A和点B为一次函数y＝2x+a（a为常数且a＜﹣2）图象上的两个“完美点”，点Q在x轴上运动，当QA+QB最小时，求点Q的坐标（用含字母a的式子表示）．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（3，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．
（1）求直线BC和AB的解析式；
（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共10题）
1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
2．我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×106 B．3×107 C．3×106 D．30×105
解：3000000＝3×106，
故选：C．
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
4．下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、＝4，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．若点A（2，m）在正比例函数y＝x的图象上，则m的值是（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
解：∵点A（2，m）在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝×2＝1．
故选：C．
6．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．2a2﹣a2＝2 C．（a2）3＝a5 D．a5?a2＝a7
解：A．a2+a2＝2a2，故本选项不符合题意；
B．2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；
D．a5?a2＝a7，故本选项符合题意；
故选：D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：原不等式组可化简为：．
∴在数轴上表示为：
故选：A．
8．下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行且对角线相等的四边形是矩形，
∴选项C符合题意；
D、∵四条边都相等的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
9．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
10．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＞4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：根据图象y1＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故①正确，④错误；
∵y2＝x+a与y轴负半轴相交，
∴a＜0，
故②错误；
当x＞4时，图象y2在y1的上方，所以y1＜y2，故③正确．
所以正确的有①共2个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共6题）
11．直线y＝﹣x+1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是　y＝﹣x+6　．
解：直线y＝﹣x+1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是y＝﹣x+1+5，即y＝﹣x+6．
故答案为y＝﹣x+6．
12．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥2　．
解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
13．数据1，2，3，0，﹣3，﹣2，﹣1的中位数是　0　．
解：把数据按从小到大排列：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，共有7个数，最中间一个数为0，所以这组数据的中位数为0．
故答案为：0．
14．在新年晚会的投飞镖游戏环节中，5名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，8，7，10，8，则这组数据的方差是 　1.2　．
解：根据题意，平均数＝＝8，
方差s2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.2；
故答案为：1.2．
15．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为　5　cm．
解：根据勾股定理得，斜边＝＝10cm，
∴斜边上的中线＝×斜边＝×10＝5cm．
故答案为：5．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论序号有：　①②③④⑤　．
解：①∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质可得，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
故①正确；
②∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
故②正确；
③由题意得EF＝DE，GB＝CG＝GF＝6，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x，
在Rt△ECG中，（12﹣x）2+36＝（x+6）2，
∴x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，
故③正确；
④∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，
故④正确；
⑤∵S△GCE＝×GC×CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FEC＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，
故⑤正确；
故答案为①②③④⑤．
三、解答题（共9大题）
17．计算：（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1﹣|1﹣|．
解：（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1﹣|1﹣|
＝1﹣2﹣（﹣1）
＝﹣1+1﹣
＝﹣．
18．先化简，再求值，÷，其中m＝1．
解：÷
＝?
＝，
当m＝1时，原式＝＝﹣．
19．一次函数y＝kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x＝10时，y的值是多少？
解：（1）观察函数图象，可知：点（2，0），（6，4）在函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得：，
∴该一次函数的表达式为y＝x﹣2．
（2）当x＝10时，y＝10﹣2＝8．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的点，DE∥BF．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求证：AF＝CE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS）；
（2）∵△AED≌△CFB，
∴AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即：AF＝CE．
21．某校倡议八年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时） 频数（人数） 频率
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 x 0.5
2 8 y
合计 m 1
（1）统计表中的m＝　100　，x＝　50　，y＝　0.08　；
（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是　1.5　，中位数是　1.5　；
（3）请将条形图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
解：（1）调查的总人数是m＝12÷0.12＝100（人），
则x＝100×0.5＝50（人），
y＝＝0.08；
（2）被调查同学劳动时间的众数为1.5小时；中位数是1.5小时；
（3）
；
（4）所有被调查同学的平均劳动时间是：＝1.27（小时）．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若OE＝2，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝CO，
又∵OE＝OD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：∵四边形ADCE为矩形，
∴OE＝AO＝2，
∵点O是AC中点，
∴AO＝2，AC＝4，
又∵AB＝AC，
∴AB＝4．
23．将220吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
大货车 700 800
小货车 400 600
（1）这两种货车各需多少辆？
（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，请写出运费W（元）与a的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费．
解：（1）设需要大货车x辆，需要小货车y辆，根据题意得：
解得，
答：需要大货车8辆，需要小货车10辆；
（2）根据题意得：
W＝700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），
W＝100a+10800．
∵15a+10（8﹣a）≥110，
∴a≥6，
∵k＝100＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴a＝6时，W最小，最小值＝11400，
∴运往甲地的大货车6辆，小货车2辆，运往乙地的大货车2辆，小货车8辆．最少运费为11400元．
24．对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若x，y满足|y﹣x|＝1，则点P（x，y）就称为“完美点”．例如：（5，6），因为|6﹣5|＝1，所以（5，6）是“完美点”．
（1）点M（3，2）　是　“完美点”；点N（﹣2，3）　不是　“完美点”（填“是”或“不是”）；
（2）已知一次函数y＝3x+m（m为常数）图象上有一个“完美点”的坐标是（1，2），一次函数y＝3x+m（m为常数）图象上是否存在其他“完美点”？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
（3）点A和点B为一次函数y＝2x+a（a为常数且a＜﹣2）图象上的两个“完美点”，点Q在x轴上运动，当QA+QB最小时，求点Q的坐标（用含字母a的式子表示）．
解：（1）∵|3﹣2|＝1，
∴点M（3，2）是“完美点”；
∵|﹣2﹣3|＝5≠1，
∴点N（﹣2，3）不是“完美点”；
故答案为：是；不是；
（2）将点坐标（1，2）代入y＝3x+m得，3+m＝2；
∴m＝﹣1，
∴y＝3x﹣1，
又∵|x﹣y|＝1，
∴y＝x+1或y＝x﹣1，
①当y＝x+1时，
联立得：x+1＝3x﹣1，
解得x＝1代入得y＝2，
所以（1，2）为其本身，
②当y＝x﹣1时，
联立得：x﹣1＝2x﹣1，
解得x＝0代入得y＝﹣1，
所以为另一个点坐标（0，﹣1），
综上所述，存在其他“完美点”为（0，﹣1）；
（3）由题意得“完美点”在函数y＝x+1或y＝x﹣1图象上，
①当在函数y＝x+1上时，2x+a＝x+1，
解得x＝1﹣a，
代入得y＝1﹣a+1＝2﹣a，
∴A为（1﹣a，2﹣a），
②当在函数y＝x﹣1上时，2x+a＝x﹣1，
解得x＝﹣1﹣a，
代入得y＝﹣1﹣a﹣1＝﹣2﹣a，
∴B为（﹣1﹣a，﹣2﹣a），
∵a＜﹣2，
∴A、B都在第一象限．
点A关于x轴的对称点为A'（1﹣a，a﹣2），
设直线A′B的解析式为yA′B＝kx+b，
代入点A′、B得，
解得：，
∴直线A′B的解析式为yA′B＝ax+a2﹣2，
令yA′B＝0，
解得：x＝，
∴点Q为（，0）．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（3，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．
（1）求直线BC和AB的解析式；
（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A的坐标为（3，0）
∴AO＝3
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°
∴BO＝AO＝3，AB＝2OA＝6，∠OAB＝60°，
又∵AB⊥BC
∴∠ACB＝30°
∴AC＝2AB＝12
∴OC＝AC﹣OA＝12﹣3＝9
∵OC＝9，OB＝3
∴点B（0，3），点C（﹣9，0）
设直线BC解析式y＝kx+b
解得：k＝，b＝3
∴直线BC解析式y＝x+3
设直线AB解析式y＝mx+n
解得：m＝﹣，n＝3
∴直线AB解析式y＝﹣x+3
（2）
∵折叠，点O与点B重合
∴DE是BO的垂直平分线
∴EO＝BE，BD＝OD
∴∠EBO＝∠EOB，∠DBO＝∠DOB
∵BO⊥CO
∴∠EBO+∠ECO＝90°，∠EOB+∠EOC＝90°
∴∠EOC＝∠ECO
∴CE＝EO
∴CE＝BE
同理BD＝DA
∴DE＝AC＝6
∵点A（3，0），点B（0，3），点C（﹣9，0）
∴点E（﹣，），点D（，）
设点F（x，0）
∵△EFD是直角三角形，DE是斜边
∴DE2＝EF2+DF2．
∴36＝（x+）2++（x﹣）2+
解得：x1＝0，x2＝﹣3
∴点F（0，0）或（﹣3，0）
（3）若BC为边，在BC上方和下方作正方形，如图：四边形BCFE是正方形，四边形BCMN是正方形
过点F作FH⊥AC于点H，过点E作EG⊥BO于点G
∵四边形BCFE是正方形
∴BC＝CF，∠BCF＝90°
∴∠BCO+∠FCH＝90°，且∠FCH+∠CFH＝90°
∴∠BCO＝∠CFH且∠BOC＝∠CHF＝90°，BC＝CF
∴△BCO≌△CFO（AAS）
∴CH＝OB＝3，HF＝CO＝9
∴OH＝9﹣3
∴点F（﹣9+3，﹣9）
同理可得△BEG≌△CBO
∴BG＝CO＝9，GE＝BO＝3
∴OG＝9﹣3
∴点E（3，﹣9+3）
同理可得：点M（﹣9﹣3，9），点N（﹣3，9+3）
若BC为对角线，如图：四边形BECF是正方形
过点F作FM⊥CO于点M，作FN⊥BO于点 N
∵FM⊥CO，FN⊥BO，BO⊥CO
∴四边形OMFN是矩形
∴OM＝FN，ON＝FM
∵四边形BECF是正方形
∴CF＝BF，∠CFB＝90°
∵∠CFB＝∠COB＝90°
∴点C，点B，点O，点F四点共圆
∴∠FCO＝∠OBF，且CF＝BF，∠FMC＝∠FNB＝90°
∴△FMC≌△FNB（AAS）
∴FM＝FN，CM＝BN
∴边形FNOM是正方形
∴OM＝ON＝FM＝FN
∵CM+OM＝9，BN﹣ON＝3
∴OM＝ON＝，CM＝BN＝
∴点F（，）
同理可求点E坐标为（，），
综上所述：这两点的坐标为（﹣9﹣3，9），（﹣3，9+3）或（，）或（，）．