1.3勾股定理的应用学案 2021年暑假自主学习八年级数学北师大版上册（无答案）

1.3勾股定理的应用
知识点一?圆柱侧面上两点间的最短距离
圆柱侧面的展开图是一个长方形.圆柱侧面上两点之间最短距离的求法是把圆柱侧面展开成平面图形,依据两点之间线段最短,以最短路线为斜边构造直角三角形,利用勾股定理求解.
例1如图①所示,一个圆柱体高20
cm,底面半径为5
cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路程是多少?(π取3)
②
解析如图②所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20
cm,BC=0.5×2×π×5=15
(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252,所以AB=25
cm,所以最短路程是25
cm.
知识点二?长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离
长方体的每个面都是平面图形,所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易.若计算不同平面上的两点之间的距离,则变成了两个平
面之间的问题,必须先将它们转化到同一平面内,即把长方体设法展开成一个平面图形,再构造直角三角形,利用勾股定理解决.
展开长方体时,一定要注意打开哪一个侧面,并且向上、下与向左、右展
开会出现长度不同的路线,应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
例2如图所示,有一个长方体,长、宽、高分别为6、5、3.在长方体的底面A处有一堆蚂蚁,它们想吃到长方体上底面与A相对的B点处的食物,则需要爬行的最短路程是多少?
②
③
解析　1.将四边形GBEF与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图①所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.
2.将四边形CDBE与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图②所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=112+32=130.
3.将四边形AFGH与四边形EBGF展开放在同一平面上.连接AB,如图③所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2=AE2+BE2=92+52=106.
因为130>106>100,所以情况①的路线最短,故蚂蚁需要爬行的最短路程是10.
巩固练习：基础篇
1．如图，若圆柱的底面周长是30
cm，高是40
cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是(
)A．80
cm
B．70
cm
C．60
cm
D．50
cm
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
2．如图所示，正方体的边长为1，一只蜘蛛从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是(
)A．2
B．3
C．4
D．5
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20
dm，3
dm，2
dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程为
。
4．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5
m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12
m，这棵大树在折断前的高度为(
)A．10
m
B．15
m
C．18
m
D．20
m
5．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是(
)A．7
B．8
C．9
D．10
（第5题图）
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
6．如图，某会展中心在会展期间准备将高5
m，长13
m，宽2
m的楼梯铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要_____________元钱．
7．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为(
)
A．600
m
B．500
m
C．400
m
D．300
m
8．如图，小明在广场上先向东走10
m，又向南走40
m，再向西走20
m，又向南走40
m，再向东走70
m．求小明到达的终止点与原出发点的距离．
巩固练习：提高篇
9．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π，S2＝2π，则S3是(
)A.π
B.π
C.π
D.π
（第9题图）
（第10题图）
（第12题图）
（第13题图）
10．如图，将一根长为24
cm的筷子，置于底面直径为5
cm，高为12
cm的圆柱形水杯中，设筷子露出杯子外面的长为
h
cm，则h的取值范围是__________________________.
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6
cm，CA＝8
cm，动点P从C点出发，以每秒2cm的速度沿CA，AB运动到点B，则点P从点C出发____________秒时，可使S△BCP＝S△ABC.
12．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
13．如图，圆柱形容器高为18
cm，底面周长为24
cm，在杯内壁离杯底4
cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为
．
14．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，∠C＝90°，现将三角形沿AD对折，直角边AC落在AB上，点C落在点E处，求折叠后重合部分△ADE的面积．
15.如图，某居民楼A与公路MN相距60
m(AB＝60
m)，在公路MN上行驶的汽车在距居民楼A100
m的点P处就可使其受到噪音的影响，求在公路上以10
m/s的速度行驶的汽车给居民楼A的居民带来多长时间的噪音影响．