2021-2022学年北师大版数学 八年级上册1.3 勾股定理的应用 课件（共47张PPT）

北师大版 数学 八年级上册
第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
1.灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题。
2.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
学习目标
在同一平面内，两点之间,线段最短
从行政楼A点走到教学楼B点怎样走最近？
教学楼
行政楼
B
A
你能说出这样走的理由吗？
导入新知
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
A
我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！
新知一 利用勾股定理解答最短路径问题
合作探究
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
B
A
r
O
12
侧面展开图
12
18÷2
A
B
小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15.
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
因为AA'=2×3×2=12, A'B'=5m,
所以AB'=13m. 即梯子最短需13米.
典例精析1 利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
如图所示,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路程是多少?(π取3)
3　勾股定理的应用
巩固新知
解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.
根据题意得AC=20 cm,BC=????????×2×π×5=15(cm).
在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得
AB2=BC2+AC2=152+202=252,
所以AB=25 cm,最短路程是25cm.
?
3　勾股定理的应用
B
牛奶盒
A
例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？
6cm
8cm
10cm
典例精析2 利用勾股定理解决长方体的最短路线问题
合作探究
长
方
体
爬
行
路
径
A
B
F
E
H
G
A
B
C
D
E
F
G
H
前（后）
上（下）
A
B
C
D
E
F
G
H
B
C
G
F
E
H
A
B
C
D
E
F
G
H
右（左）
上（下）
前（后）
右（左）
B
C
A
E
F
G
分析
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12=102 +（6+8）2=296
AB22= 82 +（10+6）2=320
AB32= 62 +（10+8）2=360
因为360＞320＞296
所以AB1 最短.
A
B
点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？
前
上
A
B
A
B
左
上
A
B
前
右
巩固新知
A
B
C
解:如图所示
在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，
AB 2=AC2+BC2
=20 2+102
=500
10
10
10
所以AB2=500.
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,
在AB上取点N使AN=12,
测量MN是否是15，是，就是垂直；
不是，就是不垂直.
例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m，AD=BC=6m，AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m，
所以AB2+BC2=82+62=64+36=100.
又因为AC2=92=81，
所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°，
所以该农民挖的不合格．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为
x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，
有x2=1.52+22 ,x =2.5
故，最长是2.5+0.5=3(米)
答:这根铁棒的最长3米，最短2米.
故，最短是1.5+0.5=2(米)
当最短时:x =1.5
A
C
B
最短是多少米？
巩固新知
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
故滑道AC的长度为5m.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，
AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
例
新知三 利用勾股定理解答长度问题
合作探究
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则:
AB=2×6=12(千米),
AC=1×5=5(千米).
在Rt△ABC 中,
所以BC =13(千米)
即甲乙两人相距13千米.
BC2=AC2+AB2 =52+122=169=132
巩固新知
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,
所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.
所以S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=????????BD?CD-????????AB?AD
=???????? ×(5×12-3×4)=24 (cm2)．
?
C
B
A
D
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答面积问题
合作探究
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC=12 cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积.
解:因为S△ACD=30 cm2，DC=12 cm.
所以AC=5 cm.
又因为AB2+BC2=32+42=52=AC2,
所以△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
所以
D
C
B
A
S△ACD=????????CD?AC=????????×12× AC=30（ cm2 ）
?
S△ABC=????????AB?BC=????????×3× 4=6（ cm2 ）
?
巩固新知
B
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　）
D
A. B.
C. D.
课堂练习
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )
A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上
C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
B
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又因为A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
所以A，B两组行进的方向成直角．
A
O
B
勾股定理及逆定理的应用
应用
最短路径问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
解决不规则图形面积问题
测量问题
归纳新知
1．如图是一块长、宽、高分别是6 cm，4 cm和3 cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长的平方是( )
A．85　　　　B．97　　　　C．109　　　D．81
A
课后练习
5cm
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？
解：如图，应把台阶看成是纸片折成的，拉平(没高度)成一张长方形(长为3×3＋2×3＝15(dm)，宽为20 dm)的纸．所以AB2＝152＋202＝625(dm2)．所以AB＝25 dm，即蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25 dm
4．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( )
A．5 cm B．100 cm
C．120 cm D．130 cm
D
5．一有盖长方体笔盒长、宽、高分别为12 cm，6 cm，4 cm，则它能容纳的最长的笔的长度为( )
A．12 cm B．13 cm
C．14 cm D．15 cm
C
6．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口点A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口点A到藏宝点的直线距离是( )
A．20 km B．14 km
C．11 km D．10 km
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
D
9．(2019·西安月考)如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼铒，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内到G处吃鱼铒，则小虫爬行的最短路线长为( )
A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
D
10．(2019·佛山期末)小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当他把绳子下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为____m.
12
11．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
解：设AB的长为x米，则AB1＝x米，AE＝AB＋0.6－1.4＝(x－0.8)米，在Rt△AB1E中，由勾股定理得AE2＋B1E2＝AB12，∴(x－0.8)2＋2.42＝x2，解得x＝4，故秋千AB的长为4米
13．如图，把一块等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝6 cm，BE＝8 cm，求该三角形零件的面积．
再 见