7.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系教案-湘教版数学必修3
文档属性
| 名称 | 7.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系教案-湘教版数学必修3 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 255.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-25 16:42:48 | ||
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文档简介
《圆与圆的位置关系》教学设计
教材：湘教版数学必修三
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（湖南教育出版社）必修三第七章《解析几何初步》第三节《圆与方程》中 “直线与圆、圆与圆的位置关系”的第二课时，教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的两种方法．代数法：将两圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断（本方法主要突出代数法的思想且具有一般性，可类比地推广到今后解析几何同类问题的研究中）；几何法：利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值比较．
解析几何是中学数学的一个重要知识，它建立了数与形、代数与几何等联系．用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化．因此,继续深化用代数方法来分析解决,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义．因此，本节课在教材中起到了承上启下的重要作用．
2、教学目标
? 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标如下：
知识目标
（1）能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位置关系．
（2）若两圆相切时，会求公切线方程；若两圆相交时，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共
弦长．
（3）理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质．
能力目标
（1）类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习能力．
（2）强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．
情感目标
??通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的认识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯及创新意识和进取精神．
3、教学重点和难点
教学重点：圆与圆的位置关系及判断方法；两圆相切时的公切线问题；两圆相交时公共弦问题．
教学难点：运用代数方法解决几何问题的数学思想．
二、学情分析
本节内容面对的是高一年学生，所授课的班级中学生层次不同，存在一定差异．虽在初中已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义等已有的认知基础的条件下，同时也经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．而且解析几何的学习刚刚开始，对代数法还处于初步了解的层次．因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．?
三、教法与学法
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过图形的动态演示，学生的动手实验,变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念．学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受．本节课主要是学习如何判断圆与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流．因此，结合本课的教学内容与学生实际，本设计主要采用的教学方法是诱思探究法．
四、教学过程
（一）引入课题
问题1：观察屏幕所给出的图形，找找圆与圆的不同位置关系图．
设计意图：由非常有意思生活常见图形入手，调动学生的学习热情，让学生充分体会数学来源于生活，同时引入本节课题:圆与圆的位置关系．
（二）探索实践
【探究活动一】
在纸上画一个半径为3cm的☉C，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上向圆移动这枚硬币
（1）观察两圆公共点的个数的变化情况。
（2）想一想两圆的位置关系图一共有几种呢？
问题2：圆与圆位置关系有哪些？不同位置时的公共点个数?
教学方式：上述问题交给学生，加强不同程度学生对该问题的认识,特别是遗忘性大的学生的复习巩固．由学生动手实践、思考、画图，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解所得的结论,一边与同学们核对．随后教师根据学生演示情况评价并进行归纳，同时强调数学的学习离不开三大品质：勤奋、创新、严谨，并引导学生带着严谨的态度一起总结，再次对圆与圆的位置关系及其公共点情况有深刻的理解．得到圆与圆的位置关系：没有公共点—相离（外离、内含）；一个公共点—相切（外切、内切）；两个公共点—相交．
设计意图：通过具体实验让学生自我观察总结五种位置关系,不仅实现知识的进一步巩固，同时也培养学生自主探索的优秀数学品质．
问题3:从“形”的角度判断圆与圆的位置关系，那么“数”的角度将如何判断？
【引例】已知圆，与圆，如何判断两圆的位置关系？
师生活动：
生1：画图；生2：通过公共点个数来判断
师：如何确定公共点个数；生：联立方程组求解的个数
解法一：联立方程得
消得：，代入方程组得，所以两圆相切
小结1：类比判断直线与圆位置关系的代数法，能否总结出判断圆与圆位置关系的代数方法步骤？
代数法：联立方程组—消元求解—确定公共点个数—判断位置关系
问题3：当一组解时，只有一个公共点， 两圆相切，如何确定内切或外切？当无解时，没有公共点，如何确定内含或外离？
问题4：回顾上一节如何判断直线与圆的位置关系？
方法一：几何法 方法二：代数法
问题5：观察动画演示，思考随着两圆位置的变化，其圆心距和半径的关系如何变化？
分组讨论得出如下结论：
图形 位置关系
公共点
外离
无公共点
外切
1个公共点
相交
2个公共点
内切
1个公共点
内含
无公共点
【脱口而出】
相交
外切
【小试牛刀】
【引例新解】已知圆，与圆，如何判断两圆的位置关系？
解法二：，所以，两圆内切
小结2：类比判断直线与圆位置关系的几何法，能否总结出判断圆与圆位置关系的几何方法步骤？
几何法：明确圆心坐标和半径---求出两圆心距---比较圆心距和半径关系
【学以致用】
【例1】已知圆，圆
试求：当为何值时两圆 (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[解析] 对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
∴圆心∴
(1)当即时，两圆外切，当即时，两圆内切．
(2)当即时，两圆相交．
(3)当即时，两圆外离．
(4)当即时两圆内含．
教学方式：教师引导学生观察思考，并关注多少学生利用辅助图形求解，对这些学生给予及时表扬．演示解题过程，让学生明确解题步骤。
设计意图：1.培养学生自主探究的能力；2．板演格式，规范作答；3．提高学生分析问题，解决问题的能力；4．加强数形结合的意识．
【探究活动二】
问题1：两圆在不同位置时的公切线情况？
（学生小组讨论后利用视频播放两圆不同位置时的公切线条数，自然直观，易于学生接受）
问题2：给定两圆如何求其公切线？
设计意图：抛出问题，引发思考，积极尝试。
【引例】变式：已知圆，与圆，求两圆公切线方程．
【例2】已知两圆求公切线方程．
设计意图：结合图形明确公切线条数，并求其方程；不仅复习巩固用代数法求直线方程的知识，同时考察了两圆相切时的相关应用。例2由2013年全国卷一题20改编旨在平时教学中融入高考相关考查点。
【探究活动三】
问题1：判断圆与圆位置关系时,用哪种方法更简捷?
问题2：若两圆相交时要求交点坐标,应选用哪种方法?
问题3：两圆相交时公共点坐标如何求？两点确定一条直线，那公共点所在直线如何求？
【例3】已知圆
（1）试求两圆公共弦所在直线方程；
解:圆与圆的方程联立得到方程组
(1)-(2)得： （3）
由(3)得,把上式代入(3)并整理得． （4）
解（4）得：
所以方程组的解为：
所以交点的坐标为．
两点式可得公共弦所在直线方程：
深入挖掘：本题结果与（3）式相同，这是巧合吗？
教学方式:学生审题，思考交流，探讨解题思路，教师及时引导并分析。
设计意图：通过例3让学生明确公共弦所在直线方程的求法，更让学生明确为什么两圆相减所得方程即是
公共弦所在直线方程． 充分调动学生的积极性，拓展学生的思维，深化几何问题代数化的思想，体现数
形结合的思想．引导学生验证探究的结论，以此获得成就感．
结论：若圆与圆相交，则两圆相交弦方程为．
设计意图：通过教师的总结，使问题进一步深化．
【层层递进】
（2）试求两圆的公共弦长；
（3）试求以两圆公共弦为直径的圆方程．
（2）解:方法一 先求出两圆交点的坐标,然后利用两点间距离公式求得公共弦长．
方法二 先求得其中一个圆的圆心到公共弦所在直线的距离,结合该圆的半径,利用圆的弦长公式求得．
设计意图:通过层层递进让学生再一次明确解析几何是一门数与形紧密联系的学科，同时体会圆与圆问题到直线与圆问题的转化化归思想．
（三）巩固提高
【大显身手】
求经过两圆和的交点
（1）且圆心在直线上的圆的方程;
（2）面积最小的圆的方程．
设计意图:通过变式锻炼学生的运算能力，目的是为了巩固学生所学的数学知识，方法和思想，提高学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力．
（四）满载而归
知识：1．判断圆与圆位置关系的两种方法；
2．求两圆相切时的公切线方程；
3．求相交圆的公共弦．
思想方法：1．类比
2．转化与化归
3．数形结合
设计意图：通过小结使学生在小组的交流讨论过程中，理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力．
（五）延伸拓展
拓展一：当变化时，方程表示什么图形，图形有什么特点？
拓展二：若圆与圆相交，求证：方程
表示过两圆交点的圆方程．
（六）布置作业
1．巩固：课本111页6，10
2．已知圆，与圆相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
【设计意图】目的是巩固所学内容，发现和弥补学生学习中的遗漏和不足，强化基本技能训练，培养学生良好的思维品质和习惯，通过巩固题、提高题和拓展题，使不同层次的学生均有所收获，体现因材施教的教学原则．
教材：湘教版数学必修三
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（湖南教育出版社）必修三第七章《解析几何初步》第三节《圆与方程》中 “直线与圆、圆与圆的位置关系”的第二课时，教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的两种方法．代数法：将两圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断（本方法主要突出代数法的思想且具有一般性，可类比地推广到今后解析几何同类问题的研究中）；几何法：利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值比较．
解析几何是中学数学的一个重要知识，它建立了数与形、代数与几何等联系．用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化．因此,继续深化用代数方法来分析解决,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义．因此，本节课在教材中起到了承上启下的重要作用．
2、教学目标
? 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标如下：
知识目标
（1）能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位置关系．
（2）若两圆相切时，会求公切线方程；若两圆相交时，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共
弦长．
（3）理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质．
能力目标
（1）类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习能力．
（2）强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．
情感目标
??通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的认识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯及创新意识和进取精神．
3、教学重点和难点
教学重点：圆与圆的位置关系及判断方法；两圆相切时的公切线问题；两圆相交时公共弦问题．
教学难点：运用代数方法解决几何问题的数学思想．
二、学情分析
本节内容面对的是高一年学生，所授课的班级中学生层次不同，存在一定差异．虽在初中已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义等已有的认知基础的条件下，同时也经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．而且解析几何的学习刚刚开始，对代数法还处于初步了解的层次．因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．?
三、教法与学法
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过图形的动态演示，学生的动手实验,变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念．学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受．本节课主要是学习如何判断圆与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流．因此，结合本课的教学内容与学生实际，本设计主要采用的教学方法是诱思探究法．
四、教学过程
（一）引入课题
问题1：观察屏幕所给出的图形，找找圆与圆的不同位置关系图．
设计意图：由非常有意思生活常见图形入手，调动学生的学习热情，让学生充分体会数学来源于生活，同时引入本节课题:圆与圆的位置关系．
（二）探索实践
【探究活动一】
在纸上画一个半径为3cm的☉C，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上向圆移动这枚硬币
（1）观察两圆公共点的个数的变化情况。
（2）想一想两圆的位置关系图一共有几种呢？
问题2：圆与圆位置关系有哪些？不同位置时的公共点个数?
教学方式：上述问题交给学生，加强不同程度学生对该问题的认识,特别是遗忘性大的学生的复习巩固．由学生动手实践、思考、画图，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解所得的结论,一边与同学们核对．随后教师根据学生演示情况评价并进行归纳，同时强调数学的学习离不开三大品质：勤奋、创新、严谨，并引导学生带着严谨的态度一起总结，再次对圆与圆的位置关系及其公共点情况有深刻的理解．得到圆与圆的位置关系：没有公共点—相离（外离、内含）；一个公共点—相切（外切、内切）；两个公共点—相交．
设计意图：通过具体实验让学生自我观察总结五种位置关系,不仅实现知识的进一步巩固，同时也培养学生自主探索的优秀数学品质．
问题3:从“形”的角度判断圆与圆的位置关系，那么“数”的角度将如何判断？
【引例】已知圆，与圆，如何判断两圆的位置关系？
师生活动：
生1：画图；生2：通过公共点个数来判断
师：如何确定公共点个数；生：联立方程组求解的个数
解法一：联立方程得
消得：，代入方程组得，所以两圆相切
小结1：类比判断直线与圆位置关系的代数法，能否总结出判断圆与圆位置关系的代数方法步骤？
代数法：联立方程组—消元求解—确定公共点个数—判断位置关系
问题3：当一组解时，只有一个公共点， 两圆相切，如何确定内切或外切？当无解时，没有公共点，如何确定内含或外离？
问题4：回顾上一节如何判断直线与圆的位置关系？
方法一：几何法 方法二：代数法
问题5：观察动画演示，思考随着两圆位置的变化，其圆心距和半径的关系如何变化？
分组讨论得出如下结论：
图形 位置关系
公共点
外离
无公共点
外切
1个公共点
相交
2个公共点
内切
1个公共点
内含
无公共点
【脱口而出】
相交
外切
【小试牛刀】
【引例新解】已知圆，与圆，如何判断两圆的位置关系？
解法二：，所以，两圆内切
小结2：类比判断直线与圆位置关系的几何法，能否总结出判断圆与圆位置关系的几何方法步骤？
几何法：明确圆心坐标和半径---求出两圆心距---比较圆心距和半径关系
【学以致用】
【例1】已知圆，圆
试求：当为何值时两圆 (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[解析] 对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
∴圆心∴
(1)当即时，两圆外切，当即时，两圆内切．
(2)当即时，两圆相交．
(3)当即时，两圆外离．
(4)当即时两圆内含．
教学方式：教师引导学生观察思考，并关注多少学生利用辅助图形求解，对这些学生给予及时表扬．演示解题过程，让学生明确解题步骤。
设计意图：1.培养学生自主探究的能力；2．板演格式，规范作答；3．提高学生分析问题，解决问题的能力；4．加强数形结合的意识．
【探究活动二】
问题1：两圆在不同位置时的公切线情况？
（学生小组讨论后利用视频播放两圆不同位置时的公切线条数，自然直观，易于学生接受）
问题2：给定两圆如何求其公切线？
设计意图：抛出问题，引发思考，积极尝试。
【引例】变式：已知圆，与圆，求两圆公切线方程．
【例2】已知两圆求公切线方程．
设计意图：结合图形明确公切线条数，并求其方程；不仅复习巩固用代数法求直线方程的知识，同时考察了两圆相切时的相关应用。例2由2013年全国卷一题20改编旨在平时教学中融入高考相关考查点。
【探究活动三】
问题1：判断圆与圆位置关系时,用哪种方法更简捷?
问题2：若两圆相交时要求交点坐标,应选用哪种方法?
问题3：两圆相交时公共点坐标如何求？两点确定一条直线，那公共点所在直线如何求？
【例3】已知圆
（1）试求两圆公共弦所在直线方程；
解:圆与圆的方程联立得到方程组
(1)-(2)得： （3）
由(3)得,把上式代入(3)并整理得． （4）
解（4）得：
所以方程组的解为：
所以交点的坐标为．
两点式可得公共弦所在直线方程：
深入挖掘：本题结果与（3）式相同，这是巧合吗？
教学方式:学生审题，思考交流，探讨解题思路，教师及时引导并分析。
设计意图：通过例3让学生明确公共弦所在直线方程的求法，更让学生明确为什么两圆相减所得方程即是
公共弦所在直线方程． 充分调动学生的积极性，拓展学生的思维，深化几何问题代数化的思想，体现数
形结合的思想．引导学生验证探究的结论，以此获得成就感．
结论：若圆与圆相交，则两圆相交弦方程为．
设计意图：通过教师的总结，使问题进一步深化．
【层层递进】
（2）试求两圆的公共弦长；
（3）试求以两圆公共弦为直径的圆方程．
（2）解:方法一 先求出两圆交点的坐标,然后利用两点间距离公式求得公共弦长．
方法二 先求得其中一个圆的圆心到公共弦所在直线的距离,结合该圆的半径,利用圆的弦长公式求得．
设计意图:通过层层递进让学生再一次明确解析几何是一门数与形紧密联系的学科，同时体会圆与圆问题到直线与圆问题的转化化归思想．
（三）巩固提高
【大显身手】
求经过两圆和的交点
（1）且圆心在直线上的圆的方程;
（2）面积最小的圆的方程．
设计意图:通过变式锻炼学生的运算能力，目的是为了巩固学生所学的数学知识，方法和思想，提高学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力．
（四）满载而归
知识：1．判断圆与圆位置关系的两种方法；
2．求两圆相切时的公切线方程；
3．求相交圆的公共弦．
思想方法：1．类比
2．转化与化归
3．数形结合
设计意图：通过小结使学生在小组的交流讨论过程中，理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力．
（五）延伸拓展
拓展一：当变化时，方程表示什么图形，图形有什么特点？
拓展二：若圆与圆相交，求证：方程
表示过两圆交点的圆方程．
（六）布置作业
1．巩固：课本111页6，10
2．已知圆，与圆相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
【设计意图】目的是巩固所学内容，发现和弥补学生学习中的遗漏和不足，强化基本技能训练，培养学生良好的思维品质和习惯，通过巩固题、提高题和拓展题，使不同层次的学生均有所收获，体现因材施教的教学原则．