7.4几何问题的代数解法_教案-湘教版数学必修3

几何问题的代数解法
【教学目标】
1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。
2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题。
【教学重难点】
1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。
2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题。
【教学过程】
一、自学导引
1．解决几何问题的基本方法——解析法
解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把 问题转化成 问题，通过建立 加以分析研究解决问题的方法。
2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：
（1）建立适当的 ，用坐标和方程表示问题中的 ，将平面几何问题转化为 ；
（2）通过代数运算，解决 ；
（3）把代数运算结果 。
二、合作探究
探究1：用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？
教师学生共同总结归纳：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系。
探究2：利用坐标法与一般方法解决几何问题有何不同？
教师学生共同总结归纳：一般方法是在几何图形中，利用图形的几何性质直接推出结果，较简洁，但思路难想。坐标法是在几何图形所在平面直角坐标系中，将几何问题转化为代数问题，用代数方法解决，思路明显，但有时过程较繁。
三、教师讲解
（一）用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
1．从实际问题中提炼几何图形；
2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；
3．通过代数运算，解决代数问题；
4．将结果“翻译”成几何结论并作答。
例1:（1）证明：圆的直径上的圆周角是直角；
（2）已知A(x，y1)，B(x，y2)两点，满足条件PA垂直PB的所有点，P(x，y)组成一条曲线，求这条曲线的方程并指出曲线的形状。
解：根据计算得出图形：
（二）用坐标法解决几何问题时应注意以下几点
1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；
2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；
3．最后要把代数结果转化成几何结论。
例2：到两个定点A，B的距离的比为定值入(A>0)的所有的点组成什么形状的曲线？
解：根据计算得出图形为：
所以这个图像是圆。
四、课堂小结
1．采用数形结合思想求解某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解。
2．利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题。适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标。很多实际问题也可采用这种方法转化。