2021-2022学年沪科新版九年级上册数学第22章 相似形单元测试卷（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科新版九年级上册数学第22章 相似形单元测试卷（word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 376.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-25 16:25:33 | ||
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文档简介
2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第22章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．若3x﹣4y＝0，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若，则的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知＝，那么的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，则线段AC的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．有一个角相等的等腰三角形
B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形
D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．若△ABC∽△DEF，＝2，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
7．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3
B．CE：EA＝1：3
C．CD：EF＝1：2
D．AB：EF＝1：2
8．下列说法正确的是（ ）
A．菱形都相似
B．正六边形都相似
C．矩形都相似
D．一个内角为80°的等腰三角形都相似
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5，b＝2.5，c＝8，则线段d的长为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
二．填空题
11．若＝，则＝
．
12．已知：，则＝
．
13．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈
cm．
14．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为
．
15．请指出图中从图1到图2的变换是
变换．
16．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于
．
17．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是
km．
18．已知＝＝，则＝
．
19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是
．
20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：
①AF⊥DE；②DG＝；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．
其中正确的结论有
．（请填上所有正确结论的序号）
三．解答题
21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．
22．已知x：y＝2：5，x：z＝：，求x：y：z．
23．如图所示，在线段AB上有C、D两点，已知AB＝7，AC＝1，且线段CD是线段AC和BD的比例中项，求线段CD的长．
24．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝36，＝＝，求△ABC三边的长．
25．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
26．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为
；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AE＝6cm，EC＝4cm，且．
①求AD的长；②求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由3x﹣4y＝0，得
x＝，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：设＝k，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，
把x＝2k，y＝7k，z＝5k代入，
故选：B．
3．解：∵＝，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝＝．
故选：B．
4．解：根据题意得AC＝AB＝×4＝2﹣2．
故选：A．
5．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；
D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选：C．
6．解：∵△ABC∽△DEF，＝2，
∴＝4．
∵△ABC面积为8，
∴△DEF的面积＝＝2．
故选：B．
7．解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，
∴AC：AE＝1：3，故A选项正确；
CE：EA＝2：3，故B选项错误；
CD：EF的值无法确定，故C选项错误；
AB：EF的值无法确定，故D选项错误；
故选：A．
8．解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；
B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是120°，相等，所以都相似，故本选项正确；
C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；
D、一个内角为80°的等腰三角形可能是顶角80°也可能是底角是80°，无法判断，此选项错误；
故选：B．
9．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
10．解：因为a、b、c、d是成比例线段，
可得：，
解得：d＝4，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
12．解：∵＝，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，
∴AP＝AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
14．解：∵DE∥BC
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
15．解：∵从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴从图1到图2的变换是相似变换．
故答案为：相似，
16．解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴它们的面积的比等于1：16．
故答案为：1：16．
17．解：根据题意，5.8÷＝5800000（厘米）＝58（千米）．
即实际距离是58千米．
故答案为：58．
18．解：设＝＝＝a，
x＝3a，y＝4a，z＝5a．
＝＝，
故答案为：．
19．解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
20．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF＝EC＝2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠EDC+∠AFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；
∵AD＝4，DF＝CD＝2，
∴AF＝，
∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD＝HF＝AF＝，
∴∠HDF＝∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，
∵AG＝＝，AB＝4，
∴，
∴△ABG～△DHF，故④正确；
∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
故答案为：①④．
三．解答题
21．解：由＝＝，得
y＝，z＝2x．
将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得
2x+﹣2x＝18．
解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．
22．解：∵x：y＝2：5，x：z＝：＝3：4，
∴x：y＝6：15，x：z＝6：8，
∴x：y：z＝6：15：8．
23．解：∵AB＝7，AC＝1，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝6﹣CD，
∵线段CD是线段AC和BD的比例中项，
∴CD2＝AC?BD，
即CD2＝1×（6﹣CD），
解得：CD＝2．
24．解：＝＝，得
a＝c，b＝c，
把a＝c，b＝c代入且a+b+c＝36，得
c+c+c＝36，
解得c＝15，
a＝c＝9，
b＝c＝12，
△ABC三边的长：a＝9，b＝12，c＝15．
25．解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
26．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
27．解：①设AD＝xcm，则BD＝AB﹣AD＝（12﹣x）cm
∵，
∴
解得x＝7.2cm
∴AD＝7.2cm；
②∵，
∴
即．
∴．
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．若3x﹣4y＝0，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若，则的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知＝，那么的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，则线段AC的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．有一个角相等的等腰三角形
B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形
D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．若△ABC∽△DEF，＝2，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
7．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3
B．CE：EA＝1：3
C．CD：EF＝1：2
D．AB：EF＝1：2
8．下列说法正确的是（ ）
A．菱形都相似
B．正六边形都相似
C．矩形都相似
D．一个内角为80°的等腰三角形都相似
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5，b＝2.5，c＝8，则线段d的长为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
二．填空题
11．若＝，则＝
．
12．已知：，则＝
．
13．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈
cm．
14．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为
．
15．请指出图中从图1到图2的变换是
变换．
16．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于
．
17．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是
km．
18．已知＝＝，则＝
．
19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是
．
20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：
①AF⊥DE；②DG＝；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．
其中正确的结论有
．（请填上所有正确结论的序号）
三．解答题
21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．
22．已知x：y＝2：5，x：z＝：，求x：y：z．
23．如图所示，在线段AB上有C、D两点，已知AB＝7，AC＝1，且线段CD是线段AC和BD的比例中项，求线段CD的长．
24．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝36，＝＝，求△ABC三边的长．
25．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
26．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为
；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AE＝6cm，EC＝4cm，且．
①求AD的长；②求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由3x﹣4y＝0，得
x＝，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：设＝k，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，
把x＝2k，y＝7k，z＝5k代入，
故选：B．
3．解：∵＝，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝＝．
故选：B．
4．解：根据题意得AC＝AB＝×4＝2﹣2．
故选：A．
5．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；
D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选：C．
6．解：∵△ABC∽△DEF，＝2，
∴＝4．
∵△ABC面积为8，
∴△DEF的面积＝＝2．
故选：B．
7．解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，
∴AC：AE＝1：3，故A选项正确；
CE：EA＝2：3，故B选项错误；
CD：EF的值无法确定，故C选项错误；
AB：EF的值无法确定，故D选项错误；
故选：A．
8．解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；
B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是120°，相等，所以都相似，故本选项正确；
C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；
D、一个内角为80°的等腰三角形可能是顶角80°也可能是底角是80°，无法判断，此选项错误；
故选：B．
9．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
10．解：因为a、b、c、d是成比例线段，
可得：，
解得：d＝4，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
12．解：∵＝，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，
∴AP＝AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
14．解：∵DE∥BC
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
15．解：∵从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴从图1到图2的变换是相似变换．
故答案为：相似，
16．解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴它们的面积的比等于1：16．
故答案为：1：16．
17．解：根据题意，5.8÷＝5800000（厘米）＝58（千米）．
即实际距离是58千米．
故答案为：58．
18．解：设＝＝＝a，
x＝3a，y＝4a，z＝5a．
＝＝，
故答案为：．
19．解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
20．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF＝EC＝2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠EDC+∠AFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；
∵AD＝4，DF＝CD＝2，
∴AF＝，
∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD＝HF＝AF＝，
∴∠HDF＝∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，
∵AG＝＝，AB＝4，
∴，
∴△ABG～△DHF，故④正确；
∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
故答案为：①④．
三．解答题
21．解：由＝＝，得
y＝，z＝2x．
将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得
2x+﹣2x＝18．
解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．
22．解：∵x：y＝2：5，x：z＝：＝3：4，
∴x：y＝6：15，x：z＝6：8，
∴x：y：z＝6：15：8．
23．解：∵AB＝7，AC＝1，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝6﹣CD，
∵线段CD是线段AC和BD的比例中项，
∴CD2＝AC?BD，
即CD2＝1×（6﹣CD），
解得：CD＝2．
24．解：＝＝，得
a＝c，b＝c，
把a＝c，b＝c代入且a+b+c＝36，得
c+c+c＝36，
解得c＝15，
a＝c＝9，
b＝c＝12，
△ABC三边的长：a＝9，b＝12，c＝15．
25．解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
26．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
27．解：①设AD＝xcm，则BD＝AB﹣AD＝（12﹣x）cm
∵，
∴
解得x＝7.2cm
∴AD＝7.2cm；
②∵，
∴
即．
∴．