2021-2022学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步优生辅导训练（word版含解析）

2021年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共7小题）
1．如图点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC等于（　　）
A．115° B．105° C．125° D．130°
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（　　）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（　　）
A．DB＝DC B．OA＝OD C．∠BDA＝∠CDA D．∠BAD＝∠CAD
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）
A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3 D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
二．填空题（共9小题）
8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　 　．
10．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中结论正确的为　 　．（填写结论的编号）
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC＝　 　．
12．如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；
②AB＝AC；
③D到AB、BC所在直线的距离相等；
@点D在∠B的平分线上；
其中正确的说法的序号是　 　．
13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝　 　．
14．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝3，BC＝6，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
15．如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是　 　．
16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为　 　cm2．
三．解答题（共5小题）
17．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
18．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
20．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD右边作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如图1，若AD平分∠BAC，且CD＝1，求AB的长度．
（2）如图2，当∠EDC＝∠BAD，连接BE交AC于点F，求证：BD＝2CF
21．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O为△ABC的内角平分线的交点，
即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×50°
＝115°．
故选：A．
2．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
3．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
4．解：过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于N，DH⊥BC于H，如图，
∵BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，
∴DH＝DM，DH＝DN，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
故选：D．
5．解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3．
故选：C．
6．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝?AB?PD，S2＝?BC?PF，S3＝?AC?PE，
∴S2+S3＝?（AC+BC）?PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
7．解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
二．填空题（共9小题）
8．解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
9．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
10．解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故①正确；
②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故本小题正确；
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
11．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×8×4+×AC×4＝28，
∴AC＝6．
故答案为6．
12．解：AD与CD不能确定相等，AB与AC也不能确定相等，所以①②错误；
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴DE＝DH，
同理可得DH＝DF，
∴DE＝DF，
即D到AB、BC所在直线的距离相等，所以③正确；
∴点D在∠B的平分线上；所以④正确．
故答案为③④．
13．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵S△ABD＝＝R，S△ACD＝＝，
∴S△ABD：S△ACD＝5：6，
故答案为：5：6．
14．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB?DE+BC?CD，
＝×3×4+×6×4，
＝18．
故答案为：18．
15．解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×18×1
＝9，
故答案为：9．
16．解：作DF⊥BC于F，
∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），
故答案为：6．
三．解答题（共5小题）
17．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB?DE+BC?DF＝DE?（AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
18．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠BAC．
19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
20．（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝1，
∴BD＝DH＝，
∴AC＝BC＝+1，
∴AB＝AC＝2+．
（2）证明：如图2中，延长BC到T，使得CT＝CB，连接AT，ET．
∵CB＝CT，AC⊥BT，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝45°，
∴∠BAT＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠TAE，
∵AB＝AT，AD＝AE，
∴△BAD≌△TAE（ASA），
∴∠ABD＝∠ATE＝45°，BD＝ET，
∴∠BTE＝∠ATB+∠ATE＝90°，
∴∠BCF＝∠BTE＝90°，
∴CF∥ET，
∵BC＝CT，
∴BF＝FE，
∴ET＝2CF，
∴BD＝2CF．
21．解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．