2020-2021学年人教版九年级数学上册 第二十四章圆24.1.4圆周角随堂练习 （word版含解析）

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2020-2021学年数学人教版九年级上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角 随堂练习
一、单选题
1.如图，矩形 OABC 的边 OA ， OC 分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在 OA 的延长线上.若 A(2,0) ， D(4,0) ，以O为圆心、 OD 长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接 DE ， BE 、则 ∠BED 的度数是（?? ）
A.?15°???????????????????????????????????B.?22.5°???????????????????????????????????C.?30°???????????????????????????????????D.?45°
2.如图，△ABC内接于⊙O ， 若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为(??? )
A.?2???????????????????????????????????????B.?22???????????????????????????????????????C.?23???????????????????????????????????????D.?4
3.如图，AB为⊙O的直径，点C ， D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（??? ）
A.?100°????????????????????????????????????B.?105°????????????????????????????????????C.?110°????????????????????????????????????D.?120°
4.如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 为 ⊙O 的弦，且 CD⊥AB 于点 E ，点 F 为圆上一点，若 AE=BF ， AD=CF ， OE=1 ，则 BC 的长为（?? ）
A.?26????????????????????????????????????????B.?32????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?5
5.如图 AC 是 ⊙O 的直径， △ABC 内接于 ⊙O ， AB=BC ， ∠DBC=32° ，则 ∠BCD= （??? ）
A.?113°?????????????????????????????????????B.?103°?????????????????????????????????????C.?45°?????????????????????????????????????D.?58°
6.已知 ⊙O1 ， ⊙O2 ， ⊙O3 是等圆， △ABP 内接于 ⊙O1 ，点C ， E分别在 ⊙O2 ， ⊙O3 上．如图，①以C为圆心， AP 长为半径作弧交 ⊙O2 于点D ， 连接 CD ；②以E为圆心， BP 长为半径作弧交 ⊙O3 于点F ， 连接 EF ；下面有四个结论：① CD+EF=AB ；② CD+EF=AB ；③ ∠CO2D+∠EO3F=∠AO1B ；④ ∠CDO2+∠EFO3=∠P ，所有正确结论的个数是（ ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
7.如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB ， 交⊙O于点C ， D ， 以下结论正确的是（　　）
A.?若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝ 3
B.?若CD＝ 3 ，则⊙O的半径是1
C.?若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D.?若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
8.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（?? ）
A.?AC＝OD??????????????????????B.?BC＝BD??????????????????????C.?∠AOD=∠CBD??????????????????????D.?∠ABC=∠ODB
9.如图，已知 BC 是 ⊙O 的直径，点 A,D 在 ⊙O 上，若 ∠ACB=32° ，则 ∠ADC 的大小为（?? ）
A.?68????????????????????????????????????????B.?62????????????????????????????????????????C.?58????????????????????????????????????????D.?52?
10.如图， AB 是圆O的直径，C，D是弧 AB 上的两点，连接 AC ， BD 相交于点E，若 ∠BEC=58° ，那么 ∠DOC 的度数为（? ）
A.?32°????????????????????????????????????B.?64°????????????????????????????????????C.?61°????????????????????????????????????D.?58°
11.如图，矩形 ABCD 中， AB=43 ， BC=6 ．若 P 是矩形 ABCD 边上一动点，且使得 ∠APB=60° ，则这样的点 P 有（? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
12.如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA，OB，OC，BC，AC，若AC // OB，OC＝4，AB＝5，则BC＝（?? ）
A.?5????????????????????????????????????????B.?39????????????????????????????????????????C.?89????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 ⊙O 上，边AB、AC分别交 ⊙O 于D、E两点﹐点B是 CD 的中点，则∠ABE=________.
14.如图，在 ⊙O 中，四边形 ABDC 是圆内接四边形， ∠BOC=110° ，则 ∠BDC 的度数是________．
15.一块直角三角板的 30° 角的顶点 A 落在 ⊙O 上，两边分别交 ⊙O 于 B 、 C 两点，若弦 BC=1 ，则 ⊙O 的半径为________.
16.如图，已知A ， B ， C是 ⊙O 上三点， ∠C=20° ，则 ∠AOB 的度数为________．
17.如图在菱形 ABCD 中， ∠BAC=α ， M 是 AC 、 BD 的交点， P 是线段 BM 上的动点（不与点 B 、 M 重合），将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α 得到线段 PQ ，点 Q 恰好在 CD 边上，若要使得 PQ=QD ，则 α 的范围为________.
18.如图，已知 AB 为 ⊙O 的直径， ∠CAB=30° ，则 sinD= ________．
三、综合题
19.如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 AD 所对的圆周角，∠ACD=30°。
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。若AB=4，求DF的长。
20.如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，过点D作GF∥AC，分别交BC，BA的延长线于点F，G．
（1）求证：∠G＝2∠DBC.
（2）作⊙O直径AM，连结DC，CM，若DC=1，AB=3，求AM的长．
21.[提出问题]
如图1，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，D是圆上一点，作AE⊥BD于E.要研究BE，DE，CD之间的关系.
?
（1）[特例分析]
如图2，当△ABC是等边三角形时，且当D在∠ABC的平分线上时，假设DE＝a，则DC＝________，BE＝________，BE，DE，CD之间的关系为________.
（2）[猜想探究]
在图1中，上述结论是否依然成立，请证明你的猜想.
（3）?[结论应用]
如图3，△ABC是等边三角形，∠CBD＝15°，AC＝ 6 ，则△BCD的周长为________.
22.如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置.
（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′.
（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′.若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状.
（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝________°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝________°.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示，
∵ A(2,0) ， D(4,0) ，
∴ OA=2,OB=OE=OD=4 ，
∴ OA=12OB ，
∵四边形 OABC 是矩形，
∴ ∠OAB=90° ，
∴ ∠OBA=30° ，
∴ ∠BOD=90°?∠OBA=60° ，
∴ ∠BED=12∠BOD=30° ；
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据A、D点坐标推出OB=12OA，从而求出∠OBA=30°，然后由同圆中圆周角和圆心角的关系即可求出∠BED.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ ∠A=45° ，
∴ ∠BOC=90°
∵OB=OC=2
∴ BC=OB2+OC2=22
故答案为：B．
【分析】新利用圆周角的性质求出∠BOC=90° ， 再利用勾股定理计算即可。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接AC ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故答案为：B．

【分析】连接AC ， 根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求出∠BCD的度数。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，连接 OC 交 AF 于 J ，设 BC 交 AF 于 T ，过点 T 作 TH⊥AB 于 H .
∵AB⊥CD ，
∴ AD=AC ，
∵ AD=CF ，
∴ AC=CF ，
∴OC⊥AF ，
∴∠AJO=∠CEO=90° ，
∵∠AOJ=∠COE ， OA=OC ，
∴ΔAJO?ΔCEO(AAS) ，
∴OJ=OE ，
∴AE=CJ ，
∵AB 是直径，
∴∠F=∠CJT=90° ，
∵AE=BF ，
∴BF=CJ ，
∵∠CTJ=∠BTF ，
∴ΔCTJ?ΔBTF(AAS) ，
∴CT=BT ，
∵TH⊥AB ， CD⊥AB ，
∴TH//CE ，
∴EH=BH ，
∵ CF=AC ，
∴∠TBF=∠TBH ，
∵∠F=∠THB=90° ， BT=BT ，
∴ΔBTF?ΔBTH(AAS) ，
∴BF=BH ，
∵AE=BF ，
∴AE=BH ，
∵OA=OB ，
∴OE=OH=1 ，
∴EH=BH=2 ，
∴AE=BH=2 ，
∴AB=6 ， OC=OB=3 ，
∴EC=OC2?OE2=32?12=22 ，
∴BC=EC2+BE2=(22)2+42=26 ，
故答案为：A.
【分析】连接 OC 交 AF 于 J ，设 BC 交 AF 于 T ，过点 T 作 TH⊥AB 于 H?，由垂径定理和等量代换易得 AC=CF ， 由垂径定理推论可得OC⊥AF ， 易得ΔAJO?ΔCEO(AAS) ， 即可得AE=CJ，由直径所对的圆周角是直角可得∠F=∠CJT=90°，易得ΔCTJ?ΔBTF(AAS) ， 得BT=CT，易证ΔBTF?ΔBTH(AAS) ， 由等量代换和勾股定理可得结果.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ AC 是 ⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，
∵ AB=BC ，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∴ ∠BCD=180°?∠D?∠CBD=103°
故答案为：B ．
【分析】得出∠A=∠ACB=45°，则∠BDC=45°，由三角形内角和可求出答案。
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：由题意得， AP=CD ， BP=EF ，
∵ AP+BP>AB ，
∴ CD+EF>AB ；故①不符合题意；
∵ ⊙O1 ， ⊙O2 ， ⊙O3 是等圆，
∴ AP=CD,BP=EF ，
∵ AP+BP=AB ，
∴ CD+EF=AB ；故②符合题意；
∴ ∠CO2D=∠AO1P ， ∠EO3F=∠BO1P ，
∵ ∠AO1P+∠BO1P=∠AO1P ，
∴ ∠CO2D+∠EO3F=∠AO1B ；故③符合题意；
∵ ∠CDO2=∠APO1 ， ∠BPO1=∠EFO3 ，
∵ ∠P=∠APO1+∠BPO1 ，
∴ ∠CDO2+∠EFO3=∠P ，故④符合题意；
∴正确结论的序号是②③④，
故答案为：C ．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：
A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB ，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE ，
∴ CE=OC2?OE2=3 ，
∴ CD=2CE=23 ，不符合题意；
B、根据 CD=3 ，缺少条件，无法得出半径是1，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB ，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC ，
∵CD⊥AB ，
∴CE＝DE ，
∴BC＝BD ，
∴OC＝OD＝BC＝BD ，
∴四边形OCBD是菱形,符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC ，
∵OC＝OB ，
∴OC＝OB＝BC ，
∴∠BOC＝60°，
∴ ∠CAB=12∠BOC=30° ，不符合题意．．
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理、圆周角定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明判断即可。
8.【答案】 A
【解析】【解答】∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
只有当∠ABC=30°时，AC=12AB，此时AC=OD，故A项不正确；
∵AB⊥CD?，∴BC?=BD?AC?=AD? ，
∴BC=BD，∠ABD=∠ABC，
∴∠AOD=2∠ABD=∠CBD，
故B、C项正确；
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠OBD=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB，故D项正确.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，只有当∠ABC=30°时，AC=12AB，此时AC=OD，据此判断A；根据垂径定理得出BC?=BD?AC?=AD? ， 可得BC=BD，∠ABD=∠ABC，根据圆周角定理得出∠AOD=2∠ABD=∠CBD，据此判断B、C；由于OB=OD得出∠ODB=∠OBD，根据圆周角定理得出∠OBD=∠ABC，从而求出∠ABC=∠ODB，据此判断D.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵BC是○O的直径，
∴∠BAC=90°.
∵∠ACB=32°，
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-32°=58°，
∴∠ADC=∠ABC=58°.
故答案为：C.
【分析】首先由直径所对的圆周角为90°可得∠BAC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABC的度数，接下来根据圆周角定理求解即可.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接BC ，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BEC=58°，
∴∠1=90°-∠BEC=90°-58°=32°，
∴∠DOC=2∠1=2×32°=64°，
故答案为：B ．
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角式直角，可得∠ACB=90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果。
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，取 CD 中点 P ，连接 AP,BP ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形
∴ AB=CD=43 ， AD=BC=6 ， ∠D=∠C=90°
∵ 点 P 是 CD 中点
∴ CP=DP=23
∴ AP=AD2+DP2=43 ， BP=BC2+CP2=43 ?
∴ AP=PB=AB ?
∴ △APB 是等边三角形
∴ ∠APB=60° ，
过点 A ，点 P ，点 B 作圆与 AD,BC 的相交，
∴ 这样的 P 点一共有3个
故答案为：C．

【分析】取 CD 中点 P ，连接 AP,BP ，由勾股定理求得AP=PB=AB ， 则可知三角形PAB为等边三角形，可得∠APB=60° ， 则过点 A ，点 P ，点 B 作圆与 AD,BC 的相交，即可的值点的个数。
12.【答案】 B
【解析】【解答】如图，连接DC，
∵AC // OB，
∴ CD=AB ，
∴AB=CD，
∵AB＝5，
∴CD=5，
∵OC＝4，
∴BD=8，
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，
根据勾股定理,得
BC= BD2?CD2=82?52=39 ,
故答案为：B.
【分析】连接DC，由AC // OB得出CD=AB ，可得AB=CD=5，根据圆周角定理得出∠DCB=90°，根据勾股定理求出BC的长即可.
二、填空题
13.【答案】 13°
【解析】【解答】解：如图，连接 DC,
∵B 是 CD 的中点，
∴BD=BC,∠BDC=∠BCD, ?
∵DE=DE, ?
∴∠ABE=∠ACD, ?
∴∠BDC=∠A+∠ACD=∠A+∠ABE, ?
∵∠ABC=90°,∠A=32°, ?
∴2∠BDC=90°?2(∠A+∠ABE),
∴∠ABE=45°?∠A=45°?32°=13°. ?
故答案为： 13°.
【分析】 连接 DC,由 ∠ABC=90°可得CD一定经过圆心O，由 B是?CD?的中点可得BD?=BC?,∠BDC=∠BCD, 可得△BCD为等腰直角三角形，根据同弧所对圆周角相等可得∠ABE=∠ACD,由三角形外角性质可得∠A+∠ACD=∠CDB=45°可得结果.
14.【答案】 125°
【解析】【解答】解：∵∠BOC=110°
∴∠A= 12 ∠BOC= 12 ×110°=55°
又∵四边形ABDC是圆内接四边形
∴∠A+∠D=180°
∴∠D=180°-55°=125°
故答案为125°．
【分析】先求出∠A=55°，再根据四边形ABDC是圆内接四边形，计算求解即可。
15.【答案】 1
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
∵ ∠A=30° ，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵ BC=1 ，
∴ OB=BC=1 ，
故答案为1.
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=60°，从而可得△BOC是等边三角形，可得OB=BC=1.
16.【答案】 40°
【解析】【解答】解：∵∠C=20°，
∴∠AOB=40°
故答案为：40°．
【分析】根据圆周角定理即可推出∠AOB=40°，
17.【答案】 45°＜α＜60°
【解析】【解答】解：连接PC，
∵在菱形 ABCD 中，BD所在直线是对称轴，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α 得到线段 PQ ，点 Q 恰好在 CD 边上，即：PQ＝PA，
∴PQ＝PC＝PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ= 12 ∠APQ= α ，
∴∠CDB＝90°?α；
∵PQ＝QD，
∴∠PQC＝2∠CDB＝180°?2α，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°?2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°?2α＞α，
∴45°＜α＜60°.
故答案为：45°＜α＜60°.
【分析】 连接PC， 由菱形的性质及对称轴性质可得，AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，线段 PA绕点P顺时针旋转 2α 得到线段PQ?，点Q?恰好在CD?边上，即：PQ＝PA=PC，易得到Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，∠ACQ= 12 ∠APQ= α ，得∠CDB＝90°?α， 要使得? PQ＝QD，∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°?2α， ?P是线段BM?上的动点（不与点?B?、?M?重合） 得出∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，即得出结果.
18.【答案】 32
【解析】【解答】解：∵ AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°
∴∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
∴ sinD=sin60°=32
故答案为 32 ．
【分析】根据圆周角定理，结合三角形的内角和定理计算得到答案即可。
三、综合题
19.【答案】 （1）解：连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°.
（2）解： ∵∠ABD=30°，AB=4
∴AD=12AB=2
∵DE⊥AB，
∴DF=2DE，∠AED=90°
∵∠ADE=90°-∠DAB=90°-60°=30°，
∴AE=12AD=1
在Rt△ADE中，
DE=AD2?AE2=4?1=3,
∴DF=23.
【解析】【分析】（1）连接BD，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠DAB的度数.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AD的长，利用垂径定理可证得DF=2DE；再利用三角形的内角和定理求出∠ADE的度数，即可求出AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的长，即可得到DF的长.
20.【答案】 （1）证明：设∠DBC=x度，
∵BD⊥AC，
∴∠ACB=90-x．
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=90-x．
∴∠BAC=180-2（90-x）=2x．
∵GF∥AC，
∴∠G＝∠BAC=2x．又∠DBC=x，
∴∠G＝2∠DBC.
（2）解：如图1，
由弦AC=AB，直径AM，
得∠CAM=0.5∠CAB=0.5∠G=∠DBC，
∴CM=DC=1.
∵AC=AB=3，∠ACM=90°，
∴ AM=AC2+CM2=10 .
【解析】【分析】（1） 设∠DBC=x，根据直角三角形的性质求出∠ACB=90-x，然后根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和求出∠BAC=2x，然后根据平行线的性质求出∠G=2x，最后比较即可得出结果；
（2）根据圆周角的性质得出∠CAM=∠DBC，则由同圆中的弦和圆周角的关系可知CM=DC=1，结合AC=AB=3，在Rt△ACM中利用勾股定理求AM即可.
21.【答案】 （1）2a；3a；BE＝DE+CD
（2）解：成立.理由：
如图，过A作AF⊥CD，交DC延长线于F，连接AD，
∵AF⊥CD，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°.
∵同弧所对的圆周角相等，
∠ABE＝∠ACD.
在△ABE和△ACD中，
{∠AEB=∠AFC∠ABE=∠ACDAB=AC .
∴△ABE≌△ACD（AAS）.
∴AE＝AF，BE＝CF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
{AE=AFAD=AD .
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴DE＝DF.
∵CF＝CD+DF＝CD+DE，
∴BE＝DE+CD.
故结论成立.
（3）6+23
【解析】【解答】解：（1）如下图：
?
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∵∠DCA＝∠ABD，
∴∠DCE＝30°.
∵AE⊥BD，
∴CD＝2DE＝2a.
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠DBC＝30°
∴AB＝2CD＝4a.
∴BE＝BD﹣DE＝3a.
∵DE+CD＝3a，
∴BE＝DE+CD.
故答案为：2a；3a；BE＝DE+CD.
（3）∵AB＝AC，D是圆上一点，AE⊥BD于E，
由（2）的结论可得：BE＝DE+CD.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝ 6 ，∠ABC＝60°.
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBD＝45°.
∵AE⊥BD，
∴AE＝BE＝ 22 AB＝ 22 × 6 ＝ 3 .
∴BE＝DE+CD＝ 3 .
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+DE+BE＝BC+2BE＝ 6 +2 3 .
故答案为： 6 +2 3 .
【分析】（1）利用等边三角形的每一个内角都等于60°，等腰三角形的三线合一可得∠DBC＝∠DAB＝30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，分别表示CD和DB，结论可得；（2）过A作AF⊥CD，交DC延长线于F，连接AD，易证△ABE≌△ACD，进而再证Rt△ADE≌Rt△ADF，得到DE＝DF，利用补短法，结论可得；（3）利用（2）的结论，△BCD的周长为BC+2BE，在等腰直角三角形△ABE中求出BE，结论可得.
?
22.【答案】 （1）解：作D'E⊥BC交BC的延长线于E，如图2所示：
则∠E=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=2，
∴∠ACD=∠BAC，∠DAC=∠ACB=30°，
∵∠ACB=30°，
∴BC= 3 AB=2 3 ，∠ACD=∠BAC=60°，
由旋转的性质得：CD'=CD=2，∠ACA'=30°，
∴∠D'CE =180°﹣30°﹣30°﹣60°=60° ，
∴∠CD'E =30° ，
∴CE= 12 CD'=1，D'E= 3 CE= 3 ，
∴S△BCD′= 12 BC×D'E= 12 ×2 3 × 3 =3；
（2）解：△OBD′是直角三角形，理由如下：
连接OC，如图3所示：
由旋转的性质得：CA'=CA，∠A'D'C=∠ADC=90°，∠D'A'C=∠DAC=30°，
∵O是AA′的中点，
∴OC⊥AA'，
∴∠AOC=∠A'OC= 90° =∠ABC=∠A'D'C，
∴∠ABC+∠AOC=180°，
∴A、B、C、O四点共圆，
∴∠BOC=∠BAC=60°，
同理；A'、D'、C、O四点共圆，
∴∠D'OC=∠D'A'C=30°，
∴∠BOD'=90°，
∴△BOD'是直角三角形；
（3）90°或270；240°或300
【解析】【解答】解：（3）若B、C、D'三点不共线，如图3所示：
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由（2）得：∠OBC=∠OAC，∠OD'C=∠OA'C，∠OAC=∠OA'C，
∴∠OBC=∠OD'C，
∵OB=O D'，
∴∠OBD'=∠OD'B，
∴∠CBD'=∠CD'B，
∴CB=CD'，
∵CD'=CD，
∴BC=CD，这与已知相矛盾，
∴B、C、D'三点共线；
分两种情况：当点D'在BC的延长线上时，如图4所示：
∵∠ACB＝ 30° ，∠A'CD'=∠ACD＝ 60° ，
∴∠AC A' =180°?30°?60°=90° ，
∴α=α1 =90° ；
当点D'在边BC上时，如图5所示：
∵∠ACB＝ 30° ，∠A'CD'=∠ACD＝ 60° ，
∴∠AC A'＝ 90° ，
∴α=α1 =360°﹣90°=270° ；
故答案为：90°或270；
当α=α2时，△OBD′不存在时，分两种情况：
当O与D'重合时，如图6所示：
∵CA'=CA，∠CAD'=∠CA'D'= 30° ，
∴∠ACA'=120°，
∴α=α2 =360°﹣120°=240° ；
当O与B重合时，如图7所示：
则AA'=2AB=4，
∵CA=CA'=2AB=4=AA'，
∴△ACA'是等边三角形，
∴∠A'CA=60°，
∴α=α2 =360°﹣60°=300° ；
故答案为：240°或300.
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【分析】(1) 作D'E⊥BC于E，根据矩形的性质，结合直角三角形的性质得出BC=3AB=23 ， 根据旋转的性质得出CE=CD'=1, D'E=3CE=3 ， 再由三角形面积公式即可求解；
(2)连接OC，由旋转的性质，结合 O是AA′的中点， 证明A、B、 C、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOC=∠BAC=60°，同理可得A、D'、C、O四点共圆，求出∠D'OC=∠D'A'C=30°，最后推出∠BOD'=90°即可；
(3) 若B、C、D'三点不共线，推出BC=CD，与已知相矛盾，从而得出B、C、D'三点共线；分
两种情况讨论：当点D'在BC的延长线上时， α = α1=90°；当点D在边BC上时，α = α1=270°；当α = α2时，△OBD'不存在时，分两种情况：当O与D'重合时，当O与B重合时，由等腰三角形的性质和等边三角形的性质解答即可.