第一章 1.1 第1课时
1．下列语句能确定一个集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
3．用符号“∈”或“?”填空：
0____N；－3____N；0.5____Z；____Z；____Q；π____R.
4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为___.
5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．
第一章 1.1 第1课时
1．下列语句能确定一个集合的是( D )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
[解析] 由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．
2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( D )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．
3．用符号“∈”或“?”填空：
0__∈__N；－3__?__N；0.5__?__Z；__?__Z；__∈__Q；π__∈__R.
4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__0,1__.
[解析] 因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1.
即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1.
5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．
[解析] (1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的．
(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．第一章 1.1 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是( )
①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A
D．a＝A
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
5．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
6．如果集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“∈”或“?”)．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)____P(填“∈”或“?”)．
9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x的值为____.
三、解答题
10．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
11．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2
020＋b2
020的值．
B组·素养提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A
B．－11?A
C．3k2－1∈A
D．－34?A
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( )
A．3∈A，－1?A
B．3∈A，－1∈A
C．3?A，－1∈A
D．3?A，－1?A
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17____A；－5____A；17____B．
6．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为 ___.
7．(2019·江苏泰州期末)集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为____，y的值为____.
三、解答题
8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
9．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
第一章 1.1 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是( C )
①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
[解析] ①④不符合集合中元素的确定性．故选C．
2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( C )
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A
D．a＝A
[解析] 由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
5．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
[解析] ∵－1?N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B．
6．如果集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( B )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
[解析] ∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a?A，故a＝2或4.
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__?__A，广州__∈__A(填“∈”或“?”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__∈__P(填“∈”或“?”)．
[解析] 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x的值为__－1__.
[解析] 因为x2∈A，所以x2＝1或x2＝0或x2＝x，
解得x＝－1,0,1.经检验，只有x＝－1时，满足集合元素的互异性．
三、解答题
10．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析] 因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2.解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2.故M含有两个元素－1,2.
11．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2
020＋b2
020的值．
[解析] 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2，a,0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2
020＋b2
020＝(－1)2
020＋0＝1.
B组·素养提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( D )
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( B )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( BC )
A．－2∈A
B．－11?A
C．3k2－1∈A
D．－34?A
[解析] 令3k－1＝－2，解得k＝－，－?Z，
∴－2?A；
令3k－1＝－11，
解得k＝－，－?Z，∴－11?A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A．故选BC．
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( ACD )
A．3∈A，－1?A
B．3∈A，－1∈A
C．3?A，－1∈A
D．3?A，－1?A
[解析] 当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1.
所以3∈A，－1∈A．故选ACD．
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17__∈__A；－5__?__A；17__∈__B．
[解析] 令3k＋2＝17，得k＝5,5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－，－?Z，所以－5?A；令6m－1＝17，得m＝3,3∈Z，所以17∈B．
6．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为 __－1±__.
[解析] 由题意，得＝a，
∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±.
7．(2019·江苏泰州期末)集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__.
[解析] 因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0.
三、解答题
8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1.
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
9．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
[解析] (1)x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；
x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，但?Z，所以x2?A；
x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．
(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，
所以x1·x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)
＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．
因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．
