第一章 1.2
A组·素养自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( )
A．b＝－3，c＝2
B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3
D．b＝2，c＝－3
3．满足{3,4}?M?{0,1,2,3,4}的所有集合M的个数是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
4．若集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＝0}，B＝{x|mx＝2}，且B?A，则实数m的值为( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．2或－2或0
5．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( )
A．MN
B．NM
C．M＝N
D．M，N的关系不确定
6．设集合A＝{x|1
A．{a|a≤2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≥2}
二、填空题
7．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?.
其中正确的是____.
8．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为___.
9．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B?A，则实数m＝____.
三、解答题
10．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，求实数a的值．
11．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．PQ
B．QP
C．P＝Q
D．不确定
2．已知集合A＝{x|1019}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2
019}
B．{a|a>2
019}
C．{a|a≥1}
D．{a|a>1}
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( )
A．1∈A
B．B?A
C．(1,1)∈B
D．?∈A
4．(多选题)(2019·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集
二、填空题
5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____.
6．(2019·四川省眉山市期末)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B?A，则a的取值范围为___.
7．已知集合U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若a1∈A，则a2∈A；②若a3?A，则a2?A；③若a3∈A，则a4?A．
则集合A＝____.(用列举法表示)
三、解答题
8．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
(2019·四川乐山市检测)已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
第一章 1.2
A组·素养自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( A )
A．b＝－3，c＝2
B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3
D．b＝2，c＝－3
[解析] 由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴，∴.
3．满足{3,4}?M?{0,1,2,3,4}的所有集合M的个数是( C )
A．6
B．7
C．8
D．9
[解析] 由题意知M中必须有3,4这两个元素，则M的个数就是集合{0,1,2}的子集的个数，即23＝8(个)．
4．若集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＝0}，B＝{x|mx＝2}，且B?A，则实数m的值为( D )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．2或－2或0
[解析] 注意别忘记B＝?，即m＝0.
5．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( B )
A．MN
B．NM
C．M＝N
D．M，N的关系不确定
[解析] 由题意，得N＝{0,1}，故NM.
6．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≥2}
[解析] ∵A?B，∴a≥2，故选D．
二、填空题
7．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?.
其中正确的是__④__.
[解析] ?不是其自身的真子集，所以④正确．
8．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为__M＝P__.
[解析] ∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
9．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B?A，则实数m＝__3__.
[解析] ∵B?A，∴m2＝6m－9，∴m＝3.
三、解答题
10．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，求实数a的值．
[解析] A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，
∵B?A，
∴当B＝?时，a＝0，
当B≠?时，B＝{x|x＝}，
∴＝－1或＝1，
∴a＝－1或a＝1.
综上可知，实数a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.
11．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析] E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.
①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，EF.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．PQ
B．QP
C．P＝Q
D．不确定
[解析] ∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由数轴可知，PQ.
2．已知集合A＝{x|1019}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是( A )
A．{a|a≥2
019}
B．{a|a>2
019}
C．{a|a≥1}
D．{a|a>1}
[解析] ∵AB，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2
019，故选A．
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( BC )
A．1∈A
B．B?A
C．(1,1)∈B
D．?∈A
[解析] B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC．
4．(多选题)(2019·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( AB )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集
[解析] A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}?T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB．
二、填空题
5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__.
[解析] 集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
6．(2019·四川省眉山市期末)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B?A，则a的取值范围为__{a|a<－8或a≥3}__.
[解析] 利用数轴法表示B?A，如图所示，
则a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
7．已知集合U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若a1∈A，则a2∈A；②若a3?A，则a2?A；③若a3∈A，则a4?A．
则集合A＝__{a2，a3}__.(用列举法表示)
[解析] 集合U的恰有两个元素的子集有：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6个，其中符合题意的只有{a2，a3}．
三、解答题
8．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析] 由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，则
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
9．(2019·四川乐山市检测)已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析] (1)当P＝?时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.
(2)当P≠?时，易得Q＝{－1，－4,1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是{m|m>}．第一章 1.2
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有( )
A．M?N
B．M∈N
C．N?M
D．M＝N
2．下列四个集合中是空集的是( )
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1D．{x|x2＋2x＋1＝0}
3．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是____.
5．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是____.
第一章 1.2
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有( C )
A．M?N
B．M∈N
C．N?M
D．M＝N
[解析] ∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N?M.
2．下列四个集合中是空集的是( B )
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1D．{x|x2＋2x＋1＝0}
[解析] 方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．
3．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是( C )
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析] A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是__②__.
[解析] 由N＝{－1,0}，知NM.
5．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是__PQ__.
[解析] 因为P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，所以PQ.