2021--2022学年 北师大版九年级数学上册 2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习（word版含答案）

*2.5　一元二次方程的根与系数的关系
知识点1　利用根与系数的关系直接求两根之和或两根之积
1.[邵阳中考]设方程x2－3x＋2＝0的两个根分别是x1,x2,则x1＋x2的值为( )
A.3 B.－32 C.32 D.－2
2.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝3,x2＝4,则m＋n的值是　5　.?
知识点2　利用根与系数的关系求有关方程根的代数式的值
3.已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根分别为α,β,则1α＋1β的值为( )
A.－32 B.32 C.－3 D.－2
4.[遵义中考]已知x1,x2是方程x2－3x－2＝0的两根,则x12＋x22的值为( )
A.5 B.10 C.11 D.13
5.若α,β是一元二次方程3x2－5x＋1＝0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的值:
(1)(α－2)(β－2);
(2)(α＋1)2＋(β＋1)2.
知识点3　利用根与系数的关系求方程的另一个根和待定字母的值
6.[教材P51习题第3题改编]若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－3x－3k－2＝0有一个根为－1,则k的值和它的另一个根分别是　
.?
7.已知m,n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解,若(m－1)(n－1)＝－6,求a的值.
8.[合肥蜀山区期末]已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若1－2是该方程的一个实根,求k的值.
9.设α,β是方程x2＋x＋2021＝0的两个实数根,则α2＋2α＋β的值为( )
A.－2021 B.2021
C.2022 D.－2022
已知方程求根与系数的关系→已知根与系数的关系求方程
已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根,且x12＋x22－x1x2＝13,则k的值为　 　.?
10.甲、乙两位同学解方程x2＋px＋q＝0,甲看错了一次项,得其根为2和7,乙看错了常数项,得其根为1和－10,则原方程为( )
A.x2－9x＋14＝0 B.x2＋9x－14＝0
C.x2－9x＋10＝0 D.x2＋9x＋14＝0
11.等腰三角形的一边长是4,另外两边的长是关于x的方程x2－6x＋m＝0的两个根,则m的值是 　.?
12.已知关于x的一元二次方程x2＋2(m－2)x＋(m2＋4)＝0有两个实数根,并且两根的平方和比两根的积大21,求m的值.
13.关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)设该方程两个同号的实数根为x1,x2,试问是否存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
14.[十堰中考]已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1,x2满足x12＋x22＝16＋x1x2,求实数k的值.
15.已知关于x的两个一元二次方程,
方程①:x2＋(k＋2)x＋1＝0;
方程②:x2＋(2k＋1)x－2k－3＝0.
(1)若这两个方程中只有一个有实数根,请说明哪个方程没有实数根;
(2)若这两个方程有一个公共根a,求代数式ak－a－2k的值.
16.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使x1x2＋x2x1－2的值为整数的实数k的整数值.
(3)若k＝－2,λ＝x1x2,试求λ的值.
*2.5　一元二次方程的根与系数的关系
知识点1　利用根与系数的关系直接求两根之和或两根之积
1.[邵阳中考]设方程x2－3x＋2＝0的两个根分别是x1,x2,则x1＋x2的值为( A )
A.3 B.－32 C.32 D.－2
2.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝3,x2＝4,则m＋n的值是　5　.?
知识点2　利用根与系数的关系求有关方程根的代数式的值
3.已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根分别为α,β,则1α＋1β的值为( A )
A.－32 B.32 C.－3 D.－2
4.[遵义中考]已知x1,x2是方程x2－3x－2＝0的两根,则x12＋x22的值为( D )
A.5 B.10 C.11 D.13
5.若α,β是一元二次方程3x2－5x＋1＝0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的值:
(1)(α－2)(β－2);
解:由根与系数的关系可知α＋β＝53,αβ＝13,
∴(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝13－2×53＋4＝1.
(2)(α＋1)2＋(β＋1)2.
解:由根与系数的关系可知α＋β＝53,αβ＝13,
∴(α＋1)2＋(β＋1)2＝α2＋2α＋1＋β2＋2β＋1＝(α＋β)2－2αβ＋2(α＋β)＋2＝532－2×13＋2×53＋2＝259－23＋103＋2＝679.
知识点3　利用根与系数的关系求方程的另一个根和待定字母的值
6.[教材P51习题第3题改编]若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－3x－3k－2＝0有一个根为－1,则k的值和它的另一个根分别是　1,52　.?
7.已知m,n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解,若(m－1)(n－1)＝－6,求a的值.
解:∵m,n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解,∴m＋n＝3,mn＝a.
∵(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝－6,
∴a－3＋1＝－6,解得a＝－4,即a的值为－4.
8.[合肥蜀山区期末]已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若1－2是该方程的一个实根,求k的值.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即(－2)2－4(－k)>0,解得k>－1.
(2)∵1－2是该方程的一个实根,设另一根为x2,
可得(1－2)＋x2＝2,(1－2)·x2＝－k,
∴x2＝1＋2,k＝1.
9.设α,β是方程x2＋x＋2021＝0的两个实数根,则α2＋2α＋β的值为( D )
A.－2021 B.2021
C.2022 D.－2022
已知方程求根与系数的关系→已知根与系数的关系求方程
已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根,且x12＋x22－x1x2＝13,则k的值为　－2　.?
10.甲、乙两位同学解方程x2＋px＋q＝0,甲看错了一次项,得其根为2和7,乙看错了常数项,得其根为1和－10,则原方程为( D )
A.x2－9x＋14＝0 B.x2＋9x－14＝0
C.x2－9x＋10＝0 D.x2＋9x＋14＝0
11.等腰三角形的一边长是4,另外两边的长是关于x的方程x2－6x＋m＝0的两个根,则m的值是　8或9　.?
12.已知关于x的一元二次方程x2＋2(m－2)x＋(m2＋4)＝0有两个实数根,并且两根的平方和比两根的积大21,求m的值.
解:设两根分别为x1,x2,则x1＋x2＝－2(m－2),x1x2＝m2＋4.
∵x12＋x22－x1x2＝21,即(x1＋x2)2－3x1x2＝21,
∴4(m－2)2－3(m2＋4)＝21,解得m1＝17,m2＝－1.
∵方程有实数根,∴Δ＝4(m－2)2－4(m2＋4)≥0,
解得m≤0,∴m＝－1.
13.关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)设该方程两个同号的实数根为x1,x2,试问是否存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
解:(1)∵Δ＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0,∴无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.
(2)不存在.
理由:x1＋x2＝－m,x1x2＝m－2>0,∴m>2,
∵x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1,
∴(x1＋x2)2－2x1x2＋m(x1＋x2)＝m2＋1,
∴m2－2(m－2)－m2＝m2＋1,即m2＋2m－3＝0,
解得m1＝－3,m2＝1.
∵m>2,∴不存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立.
14.[十堰中考]已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1,x2满足x12＋x22＝16＋x1x2,求实数k的值.
解:(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1,x2,
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0,解得k≤54,
∴实数k的取值范围为k≤54.
(2)由题意得x1＋x2＝1－2k,x1x2＝k2－1.
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2,
∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1),
即k2－4k－12＝0,
解得k＝－2或k＝6(不符合题意,舍去),
∴实数k的值为－2.
15.已知关于x的两个一元二次方程,
方程①:x2＋(k＋2)x＋1＝0;
方程②:x2＋(2k＋1)x－2k－3＝0.
(1)若这两个方程中只有一个有实数根,请说明哪个方程没有实数根;
(2)若这两个方程有一个公共根a,求代数式ak－a－2k的值.
解:(1)Δ1＝(k＋2)2－4＝k2＋4k,Δ2＝(2k＋1)2－4×(－2k－3)＝4k2＋12k＋13＝(2k＋3)2＋4>0.
∵方程①②中只有一个有实数根,∴方程①没有实数根.
(2)∵方程①②有一个公共根a,
∴a2＋(k＋2)a＋1＝0,　③
a2＋(2k＋1)a－2k－3＝0,　④
④－③,得ak－a－2k－4＝0,∴ak－a－2k＝4.
16.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使x1x2＋x2x1－2的值为整数的实数k的整数值.
(3)若k＝－2,λ＝x1x2,试求λ的值.
解:(1)由题意得x1＋x2＝1,x1x2＝k＋14k,
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2x12－4x1x2－x1x2＋2x22＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝2×12－9×k＋14k＝2－9(k＋1)4k.
若2－9(k＋1)4k＝－32成立,解得k＝95.
∵Δ＝16k2－4×4k(k＋1)＝－16k>0,∴k<0.
又∵k＝95,∴与之相矛盾,∴k的值不存在.
(2)原式＝x12＋x22x1x2－2＝(x1＋x2)2-2x1x2x1x2－2＝(x1＋x2)2x1x2－4＝－4k＋1,
∴k＋1的值可取1,－1,2,－2,4,－4,∴k的值可取0,－2,1,－3,3,－5.
又∵k<0,∴k＝－2或－3或－5.
(3)∵k＝－2,λ＝x1x2,x1＋x2＝1,
∴λx2＋x2＝1,x2＝1λ＋1,x1＝λλ＋1.
∵x1x2＝k＋14k＝18,∴λ(λ＋1)2＝18,∴λ＝3±22.