2021—2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步练习（Word版，附答案解析）

1.3.3正方形的性质与判定
一．正方形的判定（共11小题）
1．下列关于?ABCD的叙述，正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则?ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则?ABCD是正方形 D．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
2．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）
A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
3．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为　 　．
5．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　 　时，四边形MENF是正方形．
6．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．
（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．
7．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．
（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点
（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；
（2）求证：四边形ADBE是菱形．
（3）如果AB＝8，BC＝6时，求四边形ADBE的面积．
（4）当∠C＝　 　度时，四边形ADBE是正方形（不证明）．
9．如图，在△ABC中，点O是边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由．
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．
（1）求证：BC＝CE；
（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．
11．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，点P为△ABC内一点，点G，H是PB，PC的中点，顺次连接点E，F，H，G．
（1）求证：四边形EFHG是平行四边形；
（2）若AP＝6，BC＝10，求四边形EFHG的周长；
（3）当线段AP，BC满足什么条件时，四边形EFHG是正方形？请说明理由．
二．正方形的判定与性质（共9小题）
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
13．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为　 　．
16．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．
17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．
18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
19．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
20．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
1.3.3正方形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．正方形的判定（共11小题）
1．下列关于?ABCD的叙述，正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则?ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则?ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
【解答】解：∵?ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A不符合题意；
∵?ABCD中，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项B符合题意；
∵?ABCD中，AC平分∠BAD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项C不符合题意；
∵?ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：B．
2．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）
A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形EMFN是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
3．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，
∴BE＝＝．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为　∠ACB＝90°　．
【解答】解：∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形，
点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴矩形ADCF是正方形．
故答案为：∠ACB＝90°．
5．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　1：2　时，四边形MENF是正方形．
【解答】解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
6．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．
（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）四边形ABDE是平行四边形，
理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．
又∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝DE，AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD＝CD＝BD，
又∵四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形．
7．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．
（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．
【解答】解：（1）四边形ADCF为矩形，
理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF＝CD，
又∵E为AD的中点，AF∥BD，
∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴BD＝AF，
∴BD＝CD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AFCD为矩形；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；
理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCF为矩形，
∴矩形ADCF为正方形．
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点
（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；
（2）求证：四边形ADBE是菱形．
（3）如果AB＝8，BC＝6时，求四边形ADBE的面积．
（4）当∠C＝　45　度时，四边形ADBE是正方形（不证明）．
【解答】证明：（1）∵DB＝AC，E是AC的中点
∴EC＝AE＝DB，且DB∥AC
∴四边形DBCE是平行四边形；
（2）∵AE＝DB，且DB∥AC
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵四边形DBCE是平行四边形；
∴DE∥BC，且∠ABC＝90°，
∴DE⊥AB，且四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是菱形
（3）∵四边形DBCE是平行四边形；
∴BC＝DE＝6，
∵四边形ADBE是菱形
∴S四边形ADBE＝×AB×DE＝24
（4）当∠C＝45°时，四边形ADBE是正方形
∵∠ABC＝90°，∠C＝45°
∴∠BAC＝45°＝∠C
∴BA＝BC，且DE＝BC
∴AB＝DE，且四边形ADBE是菱形
∴四边形ADBE是正方形．
故答案为：45
9．如图，在△ABC中，点O是边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由．
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
【解答】解：（1）OE＝OF，
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）不可能．
如图所示，连接BF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
（4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．
（1）求证：BC＝CE；
（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∴BC＝CE；
（2）由（1）可知，四边形ACED是平行四边形，
∴DF＝CF＝CD＝AB，EF＝AF，
∵AD＝2CF，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AD∥EC，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵∠DAF＝∠FBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE＝FA，
∴∠FAB＝∠FBA，
∴∠FBA+∠FBE＝＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
11．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，点P为△ABC内一点，点G，H是PB，PC的中点，顺次连接点E，F，H，G．
（1）求证：四边形EFHG是平行四边形；
（2）若AP＝6，BC＝10，求四边形EFHG的周长；
（3）当线段AP，BC满足什么条件时，四边形EFHG是正方形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
同理，GH∥BC，GH＝BC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFHG是平行四边形；
（2）解：∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，
∴EF＝BC，EG＝AP，
∴EF＝5，EG＝3，
由（1）知：四边形EFHG是平行四边形，
∴四边形EFHG的周长＝2（EF+EG）＝2×（5+3）＝16；
（3）解：当线段AP，BC满足AP＝BC且AP⊥BC时，四边形EFHG是正方形；理由如下：
∵AP＝BC，EF＝BC，EG＝AP，
∴EF＝EG，
∴平行四边形EFHG是菱形，
∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，
∴EF∥BC，EG∥AP，
∵AP⊥BC，
∴EF⊥EG，
∴菱形EFHG是正方形．
二．正方形的判定与性质（共9小题）
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
【解答】解：根据已知条件不能推出OA＝OD，∴①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，∴②正确；
∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；
∵AE＝AF，DE＝DF，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；
∴②③④正确，
故选：C．
13．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：延长EP交AD于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，
∵PF⊥CD，
∴∠DPF＝45°，
∴DF＝PF，
∵PE⊥BC，
∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，
∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，
∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，
∴DF＝QP，
∴CE＝QP，
在△AQP和△FCE中，
，
∴△AQP≌△FCE（SAS），
∴AP＝EF，
若AP＝5，则EF＝5，故①正确；
若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，
∵△AQP≌△FCE，
∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠EFC＝∠BDC，
∴EF∥BD，故②正确；
当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
∵AB＝AD＝4，
∴BD＝，
∴AP＝BD＝，
∵EF＝AP，
∴EF的最小值为，故③错误，
故选：A．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　3　．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为　6　．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，连接BG，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD
∴四边形CDFB是矩形
∵BC＝CD
∴四边形CDFB是正方形
∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，
∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG
∴△BCE≌△BFG（SAS）
∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABF＝45°，
∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG
∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG
∴△ABE≌△ABG（SAS）
∴AE＝AG＝5，
∴AF＝AG﹣FG＝5﹣2＝3
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，
∴DF＝6，DF＝﹣1（不合题意）
∴BC＝6
故答案为：6
16．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF?AD，
∴＝，
∵∠FDE＝∠BCE＝90°，
∴△FDE∽△BCE，
∴∠DEF＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠ABE＝∠DEF．
17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴OG＝OH＝OF，
又四边形OGCF是矩形，
∴四边形OGCF是正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝4，
在Rt△AOH和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AH＝AF，
设正方形OGCF的边长为x，
则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，
∴4﹣x+4﹣x＝8，
∴x＝2﹣2，
即正方形OGCF的边长为2﹣2．
18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．
19．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
20．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
【解答】证明：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠HEA＝∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG＝HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；