第2章一元二次方程 单元综合能力达标测评 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合能力达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，每小题4分，共28分）
1．方程x2﹣9＝0的根是（　　）
A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝x2＝3 D．x＝3
2．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2022+2a﹣b的值是（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
4．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0时，此方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
5．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
6．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，则满足条件的正整数a个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
二．填空题（共11小题，每小题4分，共44分）
8．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为　 　．
9．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　 　．
10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为　 　．
11．已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　 　．
12．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为　 　．
13．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，则m的值为　 　．
14．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，配方后的方程可以是　 　．
15．若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝　 　．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是　 　．
17．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根，则a2+2a+b的值是　 　．
18．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为　 　．
三．解答题（共5小题，19题8分，20、21、22、23每小题10分，共48分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
21．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率．
（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？
22．某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成．如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值，
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由．
23．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？
②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
参考答案
一．选择题（共7小题，每小题4分，共28分）
1．解：移项得：x2＝9，
两边直接开平方得：x＝±3，
即x1＝3，x2＝﹣3．
故选：B．
2．解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
∵b﹣1≥0，
∴b≥1，
∴b＝2．
故选：A．
3．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，
∴4a﹣2b+4＝0，
则2a﹣b＝﹣2，
∴2022+2a﹣b＝2022+（2a﹣b）＝2022+（﹣2）＝2020．
故选：B．
4．解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝1+1，
（x+1）2＝2，
故选：C．
5．解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
解得：当x＝3或x＝6，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，
故选：B．
6．解：∵方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，
∴△＝64﹣24（a﹣6）≥0，a﹣6≠0，
解得：a≤，且a≠6，
则满足条件的正整数a为1，2，3，4，5，7，8，共，7个．
故选：B．
7．解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选：B．
二．填空题（共11小题，每小题4分，共44分）
8．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
9．解：∵（x+1）*3＝0，
∴（x+1）2﹣32＝0，
∴（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为x1＝2，x2＝﹣4．
10．解：有题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故答案为：2．
11．解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，
∴a﹣b﹣10＝0，
∴a﹣b＝10．
∵a≠﹣b，
∴a+b≠0，
∴＝＝＝＝5，
故答案是：5．
12．解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝，b＝6﹣a＝，
∴m＝ab＝＝，
故答案为．
13．解：依题意，当x＝0时，原方程为m2+3m﹣4＝0，
解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵二次项系数m﹣1≠0，即x≠1，
∴m＝﹣4．
故本题答案为：﹣4．
14．解：x2﹣4x﹣3＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝0
故答案为：（x﹣2）2＝7；
15．解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2，
∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．
故答案为3．
16．解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，解得a≤2，
故答案为：a≤2．
17．解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根，
∴a2+a﹣2020＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2020，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．
故答案为：2019．
18．解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
10000×（1﹣x）2＝8100，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
则降价百分率为10%．
故答案为：10%．
三．解答题（共4小题，19题8分，20、21、22、23每小题10分，共48分）
19．解：（1）（x﹣1）2＝4，
开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2，
方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，解得k≤3，
即k的取值范围是k≤3；
（2）设方程的另一个根为m，则4+m＝﹣2，解得m＝﹣6，
∴2k﹣5＝4×（﹣6），解得k＝﹣
∴k的值为﹣，另一个根为﹣6，
（3）∵k为正整数，且k≤3，
∴k＝1或k＝2或k＝3，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，
∴k的值为1或3．
21．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：6000（1+x）2＝7260，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：每月盈利的平均增长率为10%．
（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．
答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．
22．解：（1）由题意可知：（30﹣2x）x＝108，
解得：x＝6或x＝9，
由于0＜30﹣2x≤20，
解得：5≤x＜15，
∴x＝6或x＝9，
答：若苗圃园的面积为108m2，x的值为6m或9m．
（2）由题意可知：（30﹣2x）x＝120，
∴x2﹣15x+60＝0，
∴△＝152﹣4×60＝﹣15＜0，
此时方程无解，
答：苗圃园的面积不能达到120m2
23．解：①根据题意得：
若降价6元，则多售出12件，
平均每天销售数量为：12+20＝32（件），
答：平均每天销售数量为32件；
②设每件商品降价x元，
根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
40﹣10＝30＞25，（符合题意），
40﹣20＝20＜25，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．