2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程同步培优提升训练（Word版，附答案）

2021年北师大版九年级数学上册《2.6应用一元二次方程》同步培优提升训练（附答案）
1．购物中心某商品两次价格下调后，单价从6元变为3.84元，则两次平均下调的百分率为（ ）
A． B． C． D．
2．在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国100周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（　　）
A．x2+100x﹣400＝0 B．x2﹣100x﹣400＝0
C．x2+50x﹣100＝0 D．x2﹣50x﹣100＝0
3．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )
A．1000(1+x)2=1000+500 B．1000(1+x)2=500
C．500(1+x)2=1000 D．1000(1+2x)=1000+500
4．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　）
A．2（1+x）2=8 B．2（1﹣x）2=8
C．2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D．2（1+x）+2（1+x）2=8
5．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( )
A．16 m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
6．快过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，则可列方程为　 　．
7．已知a为常数，关于x的方程x3+（2a﹣a2）x﹣2a2＝0在实数范围内只有一个解，则a的取值范围为　 　．
8．写出一个整数，使得二次三项式在实数范围内能分解因式.符合条件的整数可以是______.
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着A→D方向移动，经过________秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2．
10．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2 ， 那么通道的宽应设计成________?　m．
11．给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为______．
12．选用适当的方法解下列方程
（1）(x＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 （2）
（3）
13．某地2019年为做好“精准扶贫”，投入资金500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2021年达到720万元.
（1）从2019年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）如果保持增长率不变，请你估计2023年投入资金能否突破1000万元？
14．某商店准备进一批季节性小家电，进价为40元/台，经市场预测，售价为52元/台时，可售出180台，售价每增加1元，销售量减少10台．
(1)若售价为55元/台，求所获的利润；．
(2)因受库存的影响，每批次进货个数不得超过190台．若商店想获得2000元利润，则应进货多少台？售价为多少？
15．雾霾让低碳环保再度成为热门议题．为解决这个问题，某市要将现有公共汽车改装成液化石油气燃料汽车．按计划，该市今后两年内将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到637辆，求这种环保汽车平均每年增加的百分率．
16．建一个面积为135平方米的养鸡场，为节约材料，养鸡场一边利用原有的一堵旧围墙，墙长为米.设计养鸡场的三边砖墙共长33米.问，该如何设计养鸡场的两边，能达到原定设计要求？旧围墙长米有何作用？请具体说明.
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm．点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC方向运动：同时点N从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动．
（1）运动几秒时，△CMN的面积为8cm2？
（2）△CMN的面积能否等于12cm2？若能，求出运动时间：若不能，请说明理由．
18．【问题背景】解方程：x4﹣5x2+4＝0．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．
解：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y1＝1时，x2＝1，x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
【触类旁通】参照例题解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0；
【解决问题】已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值；
【拓展迁移】分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1．
19．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
20．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D C A D C
6．解：设全班有x名同学，由题意得：
x（x﹣1）＝380，
故答案是：x（x﹣1）＝380．
7．解：去括号，得x3+2ax﹣a2x﹣2a2＝0，
∴x3﹣a2x+2ax﹣2a2＝0，
∴x（x+a）（x﹣a）+2a（x﹣a）＝0，
∴（x﹣a）（x2+ax+2a）＝0，
①当x﹣a＝0，x2+ax+2a＝0无解时，方程只有一个解，
所以△＝a2﹣8a＜0，
解得0＜a＜8；
②当x2+ax+2a＝0有两个相等的实根，且根为a时，原方程只有一个解，
所以△＝a2﹣8a＝0，
得a＝0或8，
当a＝0时，得x2＝0，
得x＝0，
此时原方程只有一个解，
当a＝8时，得x2+8x+16＝0，
得x＝4≠8，
原方程有两个根，
综合上述0≤a＜8，
故答案为0≤a＜8．
8．3（答案不唯一）.
解:∵二次三项式在实数范围内能分解因式，
∴=0有实数根，
∴?=25-8m≥0,∴m≤,
∴符合条件的整数可以是3（答案不唯一）.
故答案为：3（答案不唯一）.
9．3
解：设经过x秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2，根据题意得
6（10-2x）=24
解得，x=3，
即经过3秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2.
故答案为：3
10．2
解：设通道的宽为x，将6块草坪平移为一个长方形，则它的长为(30－2x)m，宽为(20－x)m，根据长方形面积公式列方程得到（30－2x）（20－x）＝78×6，解得x＝2或33，因为通道的宽不能大于长方形的宽，所以x＝2，通道的宽为2m.故答案是2.
11．6+3
解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4-x），
由题意得：x（3×4-x）=2×3×3，
整理得：x2-12x+18=0，
解得：x1=6+3，x2=6-3（不合题意，舍去）．
故答案为：6+3．
12．（1）x=1, x= 0；（2）x=，x=10；（3）x=3，x=?1.
解：(1)原式因式分解,得[(x+1)?2][(x+1)?1]=0，
于是，得x?1=0或x=0，
解得x=1, x= 0；
(2)原式移项，得(2x+1)?(3x?9) =0.
因式分解，得
[(2x+1)+(3x?9)][(2x+1)?(3x?9)]=0，
于是，得
5x?8=0或?x+10=0，
解得x=，x=10；
(3)原式因式分解,得(x?3)(x+1)=0，
于是，得
x?3=0或x+1=0，
解得x=3，x=?1.
13．（1）；（2）能突破1000万元.
解：（1）设年平均增长率是，
由题意得：，
解得：，（舍去），
答：年平均增长率是；
（2）估计2023年投入资金为：（万元），
（万元）（万元），
答：能突破1000万元.
14．(1)该商店每天获利2250元；(2)若商店想获得2000元利润，则应进货100台，售价为60元/台．
解：(1)由题意，得(元)．
答：若售价为55元/台，则该商店每天获利2250元．
(2)设售价是元/台，
由题意，得，
整理，得，
解得，．
∵，∴，
∴不合题意，舍去．
当时，进货台数为，符合题意．
答：若商店想获得2000元利润，则应进货100台，售价为60元/台．
15．这种环保汽车平均每年增加的百分率为40%．
解：设这种汽车平均每年增加的百分率为，根据题意得，
解得，（舍去）．
答：这种环保汽车平均每年增加的百分率为40%．
16．当时，养鸡场的长、宽分別为18米、米或15米、9米；当时，养鸡场的长、宽分別为15米、9米；当时，本题无解
解：设该养鸡场垂直于墙的宽为米，则其长为米，由题意可得：，
解得：，，当时，；
当时，；
∴当时，养鸡场的长、宽分別为18米、米或15米、9米；
当时，养鸡场的长、宽分別为15米、9米；
当时，本题无解．
17．（1）2秒或4秒；（2）不能．
解：（1）设运动t秒后△CMN的面积等于8cm2，根据题意得：
CM＝6﹣t，CN＝2t，
则△CMN的面积是：
CM?CN＝×（6﹣t）×2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
故经过2秒或4秒后，△CMN的面积等于8cm2．
（2）△CMN的面积能否等于12cm2，
理由如下：
S△CMN=×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
则当t＝3时，△CMN的面积最大为9，
∴△CMN的面积不能等于12cm2．
18．解：[触类旁通]：
（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0，
设x2+x＝y，则原方程化为：y2﹣4y﹣12＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣2，
当y＝6时，x2+x＝6，解得：x＝﹣3或2；
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，
x2+x+2＝0，
∵此方程中的△＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无解；
所以原方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2；
[解决问题]：
（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，
设2x+2y＝a，则原方程化为：（a+3）（a﹣3）＝27，
整理得：a2＝36，
解得：a＝±6，
即2x+2y＝±6，
所以x+y＝±3；
[拓展迁移]：
设x2+4x+3＝a，
则（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1
＝a（a+2）+1
＝a2+2a+1
＝（a+1）2
＝（x2+4x+3+1）2
＝（x2+4x+4）2
＝（x+2）4，
故答案为：（x+2）4．
19．解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
20．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．