2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程同步培优提升训练（Word版，附答案）

2021年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步培优提升训练（附答案）
1．关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤且a≠﹣2 B．a≤ C．a＜且a≠﹣2 D．a＜
2．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
3．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
4．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的判别式的值为　 　．
5．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
6．若关于x的方程x2﹣5x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k满足的条件为 　 　．
7．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是　 　．
8．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围　 　．
9．解方程：2x2﹣4x﹣5＝0（用公式法）
10．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
11．（1）用配方法解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
（2）公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．
12．（1）3x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4．
13．用公式法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
14．解方程：﹣2x2+4x＝﹣3．
15．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
16．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
17．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+（﹣k2+k﹣2）＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程根均为负数，求实数k的取值范围．
20．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠﹣2，
故选：A．
2．解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，
∴m≤0,
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0,
∴△＝12﹣4m＞0,
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
3．解：方程根的判别式△＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
∵a＞2，
∴（a﹣2）2＞0，即△＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．解：∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴△＝22﹣4×1×2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
5．解：∵一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣k）＝0，
解得k＝﹣．
故答案为﹣．
6．解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故答案为k＜．
7．解：Δ＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
8．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）×3＞0，
解得m＜且m≠1．
故答案为m＜且m≠1．
9．解：2x2﹣4x﹣5＝0，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56，
x＝，
x1＝，x2＝．
10．解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，
方程有两个不等的实数根，x＝＝，
即x1＝+3，x2＝﹣3．
11．解：（1）两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，，
∴或，
∴x1＝1，；
（2）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝3．
12．解：（1）∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28，
∴＝＝，
∴，；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4，
x2﹣x﹣2＝4，
故x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
故x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
13．解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴x＝＝＝，
∴，．
14．解：∵﹣2x2+4x＝﹣3，
∴2x2﹣4x﹣3＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40，
x＝＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
15．解：（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x＝﹣2．
16．解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝2，x2＝2k﹣1，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣1＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+2＝10．
17．（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
18．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
19．（1）证明：∵a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣k﹣2，
∴△＝（k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣2）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∵不论k为何实数，（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0．
∴不论k取何值，原方程必有两个实数根．
（2）解：∵x2+（k﹣1）x+（﹣k2+k﹣2）＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵方程根均为负数，
∴，
解得，＜k＜2，
∴实数k的取值范围是＜k＜2．
20．（1）证明：∵△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．