2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步培优提升训练（Word版，附答案）

2021年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步培优提升训练（附答案）
一．选择题（共9小题）
1．关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
2．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
3．若x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
4．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2
5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
6．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．5 B．0.5 C．3.5 D．﹣14
7．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（　　）
A． B．1 C．4 D．3
8．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣4 B．k＜4 且k≠0 C．k＞﹣4 D．k＞﹣4且k≠0
9．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
二．填空题（共4小题）
10．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　 　．
11．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　．
12．若m、n是方程x2+2020x﹣2021＝0的两个实数根，则m+n﹣2mn之值为　 　．
13．如果关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　．
三．解答题（共7小题）
14．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根．
15．设x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣4＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值．
（1）（x1+5）（x2+5）；
（2）x12x2+x1x22．
16．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
（1）已知a，c异号，试说明此方程根的情况；
（2）若该方程的根是x1＝﹣1，x2＝3，试求方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根．
17．已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值．
20．已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：∵a＝3，b＝﹣7，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝49﹣4×3×4＝1＞0，
∴关于x的方程3x2﹣7x+4＝0有两个实数根．
设关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的两根分别是α、β．
又∵αβ＝＞0，
∴α、β同号．
∵α+β＝＞0，
∴α＞0，β＞0．
∴该方程有两个正根．
故选：A．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0中的a＝1，b＝4，c＝m﹣3，且该方程有两个负整数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
∴m≤7．
∵m为正整数，且该方程的根都是负整数，
∴x＝＝﹣2±．
∴．
解得m＞3．
则3＜m≤7．
又∵是整数，
∴m的值6或7，
∴6+7＝13．
故选：B．
3．解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，
∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣1）
＝4+2
＝6，
故选：D．
4．解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1?x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1?x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1?x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1?x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
5．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
6．解：把x＝﹣2代入一元二次方程2x2﹣3x+m＝0得：
2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+m＝0，
解得：m＝﹣14，
则原方程为：2x2﹣3x﹣14＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3.5，
即另一个根为3.5，
故选：C．
7．解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，
∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，
∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，
∴原式＝+
＝
＝
＝1，
故选：B．
8．解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣4．
故选：C．
9．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
10．解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021+1+1＝﹣2019，
故答案为：﹣2019．
11．解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，
所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．
故答案为：9．
12．解：∵m、n是方程x2+2020x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2020，mn＝﹣2021，
则m+n﹣2mn＝﹣2020﹣2（﹣2021）＝2022．
故答案为：2022．
13．解：根据题意得m≠0且△＝42﹣4m×（﹣1）＜0，
解得m＜﹣4．
故答案为：m＜﹣4．
三．解答题（共7小题）
14．解：（1）∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×（m﹣2）＞0，
∴m＜3．
（2）将x＝﹣3代入原方程，得：（﹣3）2+2×（﹣3）+m﹣2＝0，
∴m＝﹣1．
方程的另一根为﹣2﹣（﹣3）＝1．
15．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣，
（1）原式＝x1x2+5（x1+x2）+25＝﹣+5×+25＝；
（2）原式＝x1x2（x1+x2）＝﹣×＝﹣．
16．解：（1）根据题意得：
△＝b2﹣4ac，
∵a，c异号，a≠0，b2≥0，
∴△＞0，
即此方程有两个不等实数根，
（2）根据题意得：a（x+2）2+b（x+2）+c＝0的
∴x+2＝﹣1或3，
∴x＝﹣3或1
即方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为1或﹣3．
17．解：（1）由于是一元二次方程且有实数根，所以k2≠0，即k≠0，
且△＝[2（k﹣1）]2﹣4k2＝﹣8k+4≥0
∴且k≠0
（2）设方程的两个根为x1、x2，则，
∴
整理，得（k﹣2）2＝9
解得k1＝﹣1，k2＝5
根据（1）中且k≠0，得k1＝﹣1
18．解：（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）
＝（m+1）2，
∵无论m取何值，（m+1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，
∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，
解得：m＝﹣3或m＝﹣1
19．解：（1）由题意可知：m≠0时，
△＝（m+2）2﹣8m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∴△≥0，
故不论m为何值时，方程总有两个实数根；
（2）由题意可知：△＞0，
∴m≠2，
∵mx2﹣（m+2）x+2＝0，
∴（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝，
∵方程有两个不相等的整数根，
∴m＝±1或m＝﹣2，
∴整数m的值为1或﹣1或﹣2．
20．（1）证明：方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4＞0，
则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m﹣2+2m﹣1＝0，
解得：m＝2，
设另一根为a，则有﹣1+a＝﹣m﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣3，即方程的另一根为x＝﹣3．