2021-2022学年九年级数学北师大版上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步培优提升训练（Word版，附答案）

2021年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
同步培优提升训练（附答案）
1．下列x的各组取值是方程x2﹣2x＝0的根的是（　　）
A．x＝0或x＝2 B．x＝1或x＝2 C．x＝2或x＝3 D．x＝3或x＝4
2．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝，x2＝ D．x1＝﹣1，x2＝2
3．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（　　）
A．13 B．18 C．22 D．26
4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
5．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则三角形的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
6．方程（x﹣1）2﹣4（x+2）2＝0的根为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣5 B．x1＝﹣1，x2＝﹣5
C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝5
7．若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（　　）
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
8．已知a、b实数且满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．﹣3或2
9．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
10．方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　 　．
11．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2﹣2x+1＝0．
12．已知一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0的正实数根也是一元二次方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0的根，求k的值．
13．解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0．
14．选择适当的方法解下列一元二次方程．
（1）x2﹣2x+1＝25；
（2）3x（x+1）＝3x+3．
15．用适当方法解下列方程：
（1）（6x﹣1）2＝25；
（2）4（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0；
（3）5x2﹣18＝9x；
（4）（x+2）（x﹣3）＝4．
16．请用合适的方法解方程
（1）x2﹣5x+6＝12
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0
17．解下列方程
（1）（2x﹣1）2﹣25＝0
（2）x2﹣4x﹣1＝0
（3）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5
（4）（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）﹣24＝0
18．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0；
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
19．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
20．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
参考答案
1．解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：A．
2．解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故选：B．
3．解：∵x2﹣13x+36＝0，
∴（x﹣4）（x﹣9）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝4，x2＝9，
则此三角形第三边的长度需满足5＜第三边长度＜13，
所以此三角形的周长需满足18＜周长＜26，
故选：C．
4．解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝3，x2＝4，
则直角三角形两直角边分别为3、4，
所以斜边＝＝5，
所以该直角三角形斜边上的中线长＝．
故选：D．
5．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，即第三边的边长为5或7．
∵1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5．
∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．
故选：A．
6．解：∵（x﹣1）2﹣4（x+2）2＝0，
∴（x﹣1+2x+4）（x﹣1﹣2x﹣4）＝0，即（3x+3）（﹣x﹣5）＝0，
则3x+3＝0或﹣x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣5．
故选：B．
7．解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0，
∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，
∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，
∴x1＝m，x2＝n，
∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝m，x2＝n，
∵x1＝x2＝m，
∴n＝m且n是该方程的根，
故选：B．
8．解：设a2+b2＝t，
原方程化为t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝3，t2＝﹣2，
即a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2，
而a2+b2≥0，
所以a2+b2的值为3．
故选：A．
9．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
10．解：方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
11．解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
（2）∵（2x﹣1）2﹣2x+1＝0，
∴2（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝1．
12．解：∵2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
则x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣，
根据题意将x＝3代入方程x2﹣（k﹣2）x+3＝0，得：9﹣3（k﹣2）+3＝0，
解得k＝6．
13．解：（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0，
（5x+1）（x﹣1）＝0，
5x+1＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
14．解：（1）∵（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，
解得：x＝6或x＝﹣4；
（2）∵3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
∴（x+1）（3x﹣3）＝0，
则x+1＝0或3x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝1．
15．解：（1）∵（6x﹣1）2＝25，
∴6x﹣1＝±5，
∴x＝1或x＝．
（2）∵4（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（4x﹣12﹣1）＝0，
∴x＝3或x＝．
（3）∵5x2﹣18＝9x，
∴5x2﹣9x﹣18＝0，
∴（x﹣3）（5x+6）＝0，
∴x＝3或x＝．
（4）∵（x+2）（x﹣3）＝4，
∴x2﹣x﹣10＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10，
∴△＝1+40＝41，
∴x＝．
16．解：（1）x2﹣5x+6＝12，
x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x﹣6＝0，x+1＝0，
x1＝6，x2＝﹣1；
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
（x+2﹣5）2＝0，
x+2﹣5＝0，
x＝3，
即x1＝x2＝3．
17．解：（1）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
2x﹣1＝±5，
所以x1＝3，x2＝﹣2；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5
2x2﹣5x+2＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝，x2＝2；
（4）（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）﹣24＝0，
（4x﹣1﹣12）（4x﹣1+2）＝0，
4x﹣13＝0或4x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣．
18．解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，
（x﹣9）（x+2）＝0，
∴x﹣9＝0或x+2＝0，
∴x1＝9，x2＝﹣2；
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，
[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，
∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
19．解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
20．解：（1）设x2﹣3x＝y，
原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8
＝y2﹣3y﹣18
＝（y﹣6）（y+3）
＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；
（2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0．
解得t＝﹣1或t＝3．
当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．
解得x1＝x2＝1．
当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．
解得x3＝3，x4＝﹣1．
综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．