第一章　2.1　第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含解析）

1225550011747500第一章预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知p:x-a>0,q:x>1,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.已知集合A={x|a-2 A.0≤a≤2 B.-2 C.0 4.已知p:-1 5.在△ABC中,判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.
解因为“在三角形中,等角对等边”,
所以∠B=∠C?AC=AB;
又因为“在三角形中,等边对等角”,所以
AC=AB?∠B=∠C.从而∠B=∠C?AC=AB,
因此△ABC中,∠B=∠C是AC=AB的充要条件.
6.求证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.







7.设p:x>a,q:x>3.
(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;
(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.





能力提升练
1.已知p:|x|0),q:-1 2.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a组成的集合.






3.已知m,n∈R,证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.






4.已知p:00),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.




素养培优练

　证明:如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD.






1225550011747500第一章预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.
答案A
2.已知p:x-a>0,q:x>1,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析已知p:x-a>0,x>a,q:x>1,若p是q的充分条件,则(a,+∞)?(1,+∞),所以a≥1.
答案D
3.已知集合A={x|a-2 A.0≤a≤2 B.-2 C.0 解析由A∩B=?,得a-2≥-2,a+2≤4,故0≤a≤2.
答案A
4.已知p:-1 解析由题意,命题p:-13,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
答案(2,+∞)
5.在△ABC中,判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.
解因为“在三角形中,等角对等边”,
所以∠B=∠C?AC=AB;
又因为“在三角形中,等边对等角”,所以
AC=AB?∠B=∠C.从而∠B=∠C?AC=AB,
因此△ABC中,∠B=∠C是AC=AB的充要条件.
6.求证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明(充分性)
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=ca<0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
(必要性)
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=ca<0,即ac<0.
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
7.设p:x>a,q:x>3.
(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;
(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.
解设A={x|x>a},B={x|x>3}.
(1)若p是q的必要不充分条件,则有B?A,所以a的取值范围为{a|a<3}.
(2)若p是q的充分不必要条件,则有A?B,所以a的取值范围为{a|a>3}.
(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.
能力提升练
1.已知p:|x|0),q:-1 解析p:-a 所以-a≥-2,a≤3,故a≤2.
若p是q的必要条件,则(-2,3)?(-a,a),
所以-a≤-2,a≥3,则a≥3.
答案(-∞,2]　[3,+∞)
2.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a组成的集合.
解∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,
∴B?A.
当B=?时,得a=0;
当B≠?时,由题意得B={1}或B={2}.
当B={1}时,得a=1;当B={2}时,得a=12.
综上所述,实数a组成的集合是0,1,12.
3.已知m,n∈R,证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
证明①(必要性)∵m2-n2=1,∴m2=n2+1,
∴m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)
=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1,
∴m4-n4=2n2+1成立;
②(充分性)∵m4-n4=2n2+1,
∴m4=n4+2n2+1=(n2+1)2,
∴m2=n2+1,即m2-n2=1,
∴m2-n2=1成立.
综上,m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
4.已知p:00),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.
解由p解得-m 由x(x-4)<0,解得0 若p是q的充分不必要条件,则有-m≥0,2m≤4,m>0,解得m无解;
若p是q的必要不充分条件,则有-m≤0,2m≥4,m>0,解得m≥2.
因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).
素养培优练

　证明:如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD.
证明(1)(必要性)
在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠DCB.
又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB(SAS),∴AC=BD.
(2)(充分性)
如图,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.

∵AD∥BE,DE∥AC,
∴四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC.
∵AC=BD,∴BD=DE.
∴∠E=∠1.
又∵AC∥DE,∴∠2=∠E,∴∠1=∠2,
在△ABC和△DCB中,AC=DB,∠2=∠1,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AB=DC.
∴梯形ABCD为等腰梯形.
综上可得,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD.