第一章　3.2　第1课时　基本不等式-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含解析）

1202690011823700第一章预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
2.已知0 A.13 B.12 C.14 D.23
3.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则x,y的关系是(　　)
A.x>y B.x C.x>2y D.y<2x
4.(多选题)(2020山东日照高一期末)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥8 B.1ab≥14
C.ab≥2 D.1a+1b≤1
5.已知a>0,b>0,且a+2b=8,则ab的最大值等于　　　　.?
6.已知4x+ax(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　.?
7.已知t>0,则t2-3t+1t的最小值为　　　　.?
8.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于　　　　　.?
9.已知a>0,b>0,求证:a+b+1≥ab+a+b.





10.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.






能力提升练
1.

《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)
A.ab≤a+b2(a>0,b>0)
B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,a≠b)
C.2aba+b≤ab(a>0,b>0)
D.2aba+b0,b>0,a≠b)
2.已知a>b>c,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是　　　　　　　　　　.?
3.已知直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为　　　　.?
4.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　　.?
5.(2020浙江效实中学高一期中)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是　　　　　,1x+2y的最小值是　　　　　.?
素养培优练
　已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<1a2+1b2+1c2.





1202690011823700第一章预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
解析∵ab=a+b≥2ab,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时等号成立,故ab的最小值为4.
答案D
2.已知0 A.13 B.12 C.14 D.23
解析∵00.
∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.
答案B
3.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则x,y的关系是(　　)
A.x>y B.x C.x>2y D.y<2x
解析x2=a+b+2ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,且x≠y,∴x 答案B
4.(多选题)(2020山东日照高一期末)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥8 B.1ab≥14
C.ab≥2 D.1a+1b≤1
解析a2+b2≥(a+b)22=8,当且仅当a=b=2时取等号,A正确;a+b=4≥2ab,即ab≤4,即1ab≥14,当且仅当a=b=2时取等号,B正确,C错误,1a+1b=a+bab=4ab≥1,D错误.
答案AB
5.已知a>0,b>0,且a+2b=8,则ab的最大值等于　　　　.?
解析a>0,b>0且a+2b=8,则ab=12a·2b≤12a+2b22=12×16=8,当且仅当a=2b=4时取等号,则ab的最大值为8.
答案8
6.已知4x+ax(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　.?
解析由基本不等式,得4x+ax≥24x·ax=4a,当且仅当4x=ax,即x=a2时,等号成立,即a2=3,即a=36.
答案36
7.已知t>0,则t2-3t+1t的最小值为　　　　.?
解析t2-3t+1t=t+1t-3≥2t·1t-3=-1,当且仅当t=1时取等号.
答案-1
8.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于　　　　　.?
解析设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a2+b2=25,则三角形的面积S=12ab,∵25=a2+b2≥2ab,∴ab≤252,则三角形的面积S=12ab≤12×252=254,即这个直角三角形面积的最大值等于254.
答案254
9.已知a>0,b>0,求证:a+b+1≥ab+a+b.
证明a+b≥2ab,a+1≥2a,b+1≥2b,
上面三式相加,得2(a+b+1)≥2ab+2a+2b,
所以a+b+1≥ab+a+b.
10.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.
证明因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ab+ba+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时取等号.
能力提升练
1.

《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)
A.ab≤a+b2(a>0,b>0)
B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,a≠b)
C.2aba+b≤ab(a>0,b>0)
D.2aba+b0,b>0,a≠b)
解析由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=a+b2,易得DC=AC·BC=ab,DE=DC2DO=2aba+b,∵DE0,b>0,a≠b).故选D.
答案D
2.已知a>b>c,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是　　　　　　　　　　.?
解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,
∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c).
当且仅当b=a+c2时取等号.
答案(a-b)(b-c)≤a-c2
3.已知直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为　　　　.?
解析设直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,面积为S,周长L=2,由于a+b+a2+b2=L≥2ab+2ab(当且仅当a=b时取等号),∴ab≤L2+2.
∴S=12ab≤12L2+22=12·(2-2)L22=3-224L2=3-22.
答案3-22
4.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　　.?
解析总费用为4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.
答案30
5.(2020浙江效实中学高一期中)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是　　　　　,1x+2y的最小值是　　　　　.?
解析因为x+2y≥22xy,所以4≥22xy,即得xy≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xy的最大值是2;因为1x+2y=1x+2yx+2y4=145+2yx+2xy≥145+22yx·2xy=94,当且仅当x=y时取等号,所以1x+2y的最小值是94.
答案2　94
素养培优练
　已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<1a2+1b2+1c2.
证明因为a,b,c都是正实数,且abc=1,
所以1a2+1b2≥2ab=2c,1b2+1c2≥2bc=2a,1a2+1c2≥2ac=2b,
以上三个不等式相加,得:21a2+1b2+1c2≥2(a+b+c),即1a2+1b2+1c2≥a+b+c,
因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不都同时成立,所以a+b+c<1a2+1b2+1c2.