第一章　3.2　第2课时　习题课　基本不等式的应用-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含解析））

1117600010236200第一章预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
第2课时　习题课　基本不等式的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.x2+3x+6x+1(x>0)的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,则m的最大值为(　　)
A.9 B.12 C.16 D.10
3.(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为(　　)
A.9 B.92 C.3 D.322
4.若正数x,y满足x+5y=3xy,则5x+y的最小值是　　　　　.?
5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为　　　　　.?
6.若关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　　.?
7.若正实数x,y满足x+y=1,求4x+1+1y的最小值.

8.求函数y=x+1x-1中y的取值范围.





能力提升练
1.当x<54时,则函数y=4x-2+14x-5的最大值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.12
2.(多选题)设0 A.a2+b2a2+b2
C.a<2ab<12 D.12 3.(多选题)(2020山东高二期末)若a,b为正数,则(　　)
A.2aba+b≥ab
B.当1a+1b=2时,a+b≥2
C.当a+b=1a+1b时,a+b≥2
D.当a+b=1时,a21+a+b21+b≥13
4.设x>0,y>0,x+y=5,则1x+4y+1的最小值为　　　　　.?
5.(2020浙江杭州高二检测)已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是　　　　　,a+b的最小值是　　　　　.?
6.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k.轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定轮船以速度v匀速航行.
(1)求k的值;
(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费+航行运作费用)的最小值.







素养培优练
　某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.

1117600010236200第一章预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
第2课时　习题课　基本不等式的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.x2+3x+6x+1(x>0)的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析由题意知,x2+3x+6x+1=(x+1)2+x+1+4x+1=x+1+4x+1+1,因为x>0,所以x+1>0,则x+1+4x+1+1≥24+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,故最小值是5.
答案D
2.已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,则m的最大值为(　　)
A.9 B.12 C.16 D.10
解析因为a>0,b>0,所以a+4b>0,
所以不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,
即可转化为4a+1b(a+4b)≥m恒成立,
即4a+1b(a+4b)min≥m,
因为4a+1b(a+4b)=8+16ba+ab≥8+216ba·ab=16,
当且仅当a=4b时取等号,所以16≥m,即m的最大值为16.
答案C
3.(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为(　　)
A.9 B.92 C.3 D.322
解析∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,
由基本不等式,得(3-a)(a+6)≤(3-a)+(a+6)2=92,
当且仅当a=-32时取得等号.
答案B
4.若正数x,y满足x+5y=3xy,则5x+y的最小值是　　　　　.?
解析正数x,y满足x+5y=3xy,则1y+5x=3,
∴5x+y=13(5x+y)1y+5x=1325+1+5xy+5yx≥1326+25xy·5yx=12,
当且仅当x=y=2时取等号,故5x+y的最小值是12.
答案12
5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为　　　　　.?
解析∵a,b都是正数,满足2a+b=3,
则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b
=135+2ba+2ab≥13(5+4)=3,
当且仅当2ba=2ab时即a=b=1时,a+2bab取得最小值3.
答案3
6.若关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　　.?
解析关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即为x-a+4x-a≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+4x-a≥2(x-a)·4x-a=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值为1.
答案1
7.若正实数x,y满足x+y=1,求4x+1+1y的最小值.
解因为x+y=1,所以(x+1)+y=2.
所以4x+1+1y=4x+1+1y×[(x+1)+y]2=125+4yx+1+x+1y≥12(5+24)=92,
当且仅当4yx+1=x+1y,即x=13,y=23时,等号成立.所以4x+1+1y的最小值为92.
8.求函数y=x+1x-1中y的取值范围.
解当x>1时,y=x-1+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1=3,即x>1时,ymin=3;
当x<1时,y=-(1-x)+11-x+1≤-2(1-x)×11-x+1=-1,即x<1时,ymax=-1;
故函数y=x+1x-1中y的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
能力提升练
1.当x<54时,则函数y=4x-2+14x-5的最大值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.12
解析由题意,x<54,则5-4x>0,15-4x>0,则y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3=-(5-4x)+15-4x+3≤-2(5-4x)·15-4x+3=1,
当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时等号成立,
所以函数y=4x-2+14x-5在区间-∞,54内的最大值为1,故选A.
答案A
2.(多选题)设0 A.a2+b2a2+b2
C.a<2ab<12 D.12 解析由0 对A,由a+b=1两边平方得a2+b2=1-2ab=b+a-2ab=b+a(1-2b) 对B,a2+b2-a=a2+(1-a)2-a=2a2-3a+1=(2a-1)(a-1),因为0 所以(2a-1)(a-1)>0,所以a2+b2>a,所以B错误;
对C,因为ab 所以a<2ab<12,所以C正确;
对D,因为a2+b2>(a+b)22=12,
又a2 答案ACD
3.(多选题)(2020山东高二期末)若a,b为正数,则(　　)
A.2aba+b≥ab
B.当1a+1b=2时,a+b≥2
C.当a+b=1a+1b时,a+b≥2
D.当a+b=1时,a21+a+b21+b≥13
解析对A,因为a+b≥2ab,所以2aba+b≤ab,当且仅当a=b时取等号,A错误;
对B,12(a+b)1a+1b=122+ba+ab
≥122+2ba·ab=2,当且仅当a=b时取等号,B正确;
对C,a+b=1a+1b=a+bab,则ab=1,所以a+b≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号,C正确;
对D,a21+a+b21+b(1+a+1+b)=a2+b2+b2(1+a)1+b+a2(1+b)1+a≥a2+b2+2b2(1+a)1+b·a2(1+b)1+a=a2+b2+2ab=(a+b)2=1,
当a=b=12时取等号,即a21+a+b21+b≥13,D正确.
答案BCD
4.设x>0,y>0,x+y=5,则1x+4y+1的最小值为　　　　　.?
解析1x+4y+1=16[x+(y+1)]1x+4y+1
=161+4+y+1x+4xy+1
=165+y+1x+4xy+1
≥165+2y+1x·4xy+1=32,
当且仅当y+1x=4xy+1,即x=2,y=3时等号成立.
答案32
5.(2020浙江杭州高二检测)已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是　　　　　,a+b的最小值是　　　　　.?
解析由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥22ab.
即3ab≥22,
所以ab≥89(当且仅当a=2b,即a=43,b=23时取等号),所以ab的最小值为89.
由a+2b-3ab=0,可知1b+2a=3,
所以a+b=a+b3·1b+2a=133+2ba+ab
≥13(3+22)=1+223.
当且仅当2ba=ab,即a=2+23,b=2+13时取等号,所以a+b的最小值为1+223.
答案89　1+223
6.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k.轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定轮船以速度v匀速航行.
(1)求k的值;
(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费+航行运作费用)的最小值.
解(1)由题意,设燃料费为W1=kv2.
∵当船速为10海里/小时时,它的燃料费是每小时96元,
∴当v=10时,W1=96,可得96=k×102,解得k=0.96.
(2)∵其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元,
∴航行100海里的时间为100v小时,可得其余航行运作费用为100v×150=15 000v元,因此,航行100海里的总费用为W=0.96v2·100v+15 000v=96v+15 000v(0 ∵96v+15 000v≥21 440 000=2 400,∴当且仅当96v=15 000v,即v=15 00096=12.5<15时,航行100海里的总费用最小,且这个最小值为2 400元.
素养培优练
　某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
解(1)设甲工程队的总造价为y元,
则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x≤6),
900x+16x+7 200≥900×2×x·16x+7 200=14 400.
当且仅当x=16x,即x=4时等号成立.
即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.
(2)由题意可得,900x+16x+7 200>900a(1+x)x对任意的x∈[2,6]恒成立,即(x+4)2x>a(1+x)x,
∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,
又x+1+9x+1+6≥2(x+1)·9x+1+6=12,
当且仅当x+1=9x+1,即x=2时等号成立,
∴a的取值范围为(0,12).