第一章　4.2　一元二次不等式及其解法 4.3　一元二次不等式的应用-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含解析）

1112520011366500第一章预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
4.3　一元二次不等式的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.不等式x-x2>0的解集是(　　)
A.(0,1)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
2.不等式x+61-x≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}
3.若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.(-4,0]
4.(2020辽宁师大附中高三月考)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　)
A.12元 B.16元
C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
5.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为-12,2,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0
B.b>0
C.c>0
D.a+b+c>0
6.在R上定义运算????:x????y=x(1-y),若不等式(x-a)????(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,1) B.-12,32
C.-32,12 D.(0,2)
7.(2019天津)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　.?
8.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6

则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　.?
9.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4 500x L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5 L,此时k=　　　　.若使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为　　　　　.?
10.(2020江苏南京师大附中高一月考)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3 (1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)求使得ax2+bx+3≥0的解集为R的b的取值范围.







能力提升练
1.不等式2x+1x-3≥-1的解集为(　　)
A.x23≤x<3 B.xx≤23,或x>3
C.x-12≤x<3 D.xx≤-12,或x>3
2.(2020山东淄博高二期末)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为　　　　　.?
4.某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系;
(2)为使本年度的年利润比上一年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?





5.已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(1)求函数的解析式;
(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.





6.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

7.(2020重庆巴蜀中学高一期中)已知函数y=x2-4x+5(x∈R).
(1)求关于x的不等式y<2的解集;
(2)若不等式y>|m-3|对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.





素养培优练
1.(2020海南中学高一期中)若不等式ax2+bx+c≥0的解集是x-13≤x≤2,函数f(x)=cx2+bx+a,当x∈R时f(x)≥-4924恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.?
2.已知函数y=mx2-(m2+1)x+m(m∈R).
(1)当m=2时,解关于x的不等式y≤0;
(2)当m>0时,解关于x的不等式y>0.







1112520011366500第一章预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
4.3　一元二次不等式的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.不等式x-x2>0的解集是(　　)
A.(0,1)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|0 答案A
2.不等式x+61-x≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}
解析不等式x+61-x≥0等价于(x+6)(1-x)≥0,1-x≠0,解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.
答案C
3.若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.(-4,0]
解析当a=0时,不等式为3>0,满足题意;
当a≠0,需满足a>0,Δ=a2-4a(a+3)≤0,
解得a>0.
综上可得a≥0.即a的取值范围为[0,+∞).
答案C
4.(2020辽宁师大附中高三月考)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　)
A.12元 B.16元
C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
解析设销售价定为每件x元,利润为y,
则y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,
即x2-28x+192<0,解得12 所以每件销售价应定为12元到16元之间.
答案C
5.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为-12,2,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0
B.b>0
C.c>0
D.a+b+c>0
解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为-12,2,故相应的一元二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;
易知2和-12是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有ca=-1<0,-ba=32>0,又a<0,故b>0,c>0,故BC正确;
由一元二次函数的图象可知x=1时,a+b+c>0,故D正确.
答案BCD
6.在R上定义运算????:x????y=x(1-y),若不等式(x-a)????(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,1) B.-12,32
C.-32,12 D.(0,2)
解析根据新定义,可得(x-a)????(x+a)=(x-a)(1-x-a),
所以(x-a)????(x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x+(1-a2+a)>0恒成立,
需Δ=1-4(1-a2+a)<0,
解得-12 答案B
7.(2019天津)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　.?
解析由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.
解得-1 满足题意的x的取值范围是-1,23.
答案-1,23
8.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6

则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　.?
解析根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.

由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.
答案{x|x<-2,或x>3}
9.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4 500x L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5 L,此时k=　　　　.若使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为　　　　　.?
解析由于“汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L”,
所以15120-k+4 500120=11.5,解得k=100,故每小时油耗为15x+4 500x-20,
依题意15x+4 500x-20≤9,解得45≤x≤100,
又60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].
答案100　[60,100]
10.(2020江苏南京师大附中高一月考)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3 (1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)求使得ax2+bx+3≥0的解集为R的b的取值范围.
解(1)由题意知1-a<0,即a>1,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
∴1-a<0,41-a=-2,61-a=-3,解得a=3.
∴不等式2x2+(2-a)x-a>0,
即为2x2-x-3>0,解得x<-1,或x>32.
∴所求不等式的解集为xx<-1,或x>32.
(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0,
若此不等式解集为R,则Δ=b2-4×3×3≤0,
∴b的取值范围为[-6,6].
能力提升练
1.不等式2x+1x-3≥-1的解集为(　　)
A.x23≤x<3
B.xx≤23,或x>3
C.x-12≤x<3
D.xx≤-12,或x>3
解析根据题意,2x+1x-3≥-1?3x-2x-3≥0?(3x-2)(x-3)≥0,且x-3≠0,解得x≤23,或x>3,即不等式的解集为xx≤23,或x>3.
答案B
2.(2020山东淄博高二期末)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析设y=x2-6x+a,其图象开口向上,对称轴是x=3的抛物线,如图所示.

若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,因为对称轴为x=3,则22-6×2+a≤0,12-6×1+a>0,解得5 又a∈Z,故a可以为6,7,8.
答案ABC
3.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为　　　　　.?
解析令y=x2+mx+m,若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则有Δ=m2-4m≤0,或-m2≤1,1+2m≥0,或-m2≥2,4+3m≥0,解得m∈-12,+∞,实数m的最小值为-12.
答案-12
4.某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系;
(2)为使本年度的年利润比上一年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
解(1)依题意,得y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1 000×(1+0.6x)=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2).
则所求函数关系为y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0 (2)依题意,得1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1 000.
化简,得3x2-x<0,解得0 故投入成本增加的比例x的取值范围是0,13.
5.已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(1)求函数的解析式;
(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.
解(1)易知-2和0是y=0的两个根,
可得12-2b+c=0,c=0,解得c=0,b=6,
∴y=3x2+6x.
(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而x∈[-2,2]时,函数t=-3x2-6x+3图象的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数t的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,
∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
6.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
解(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.
7.(2020重庆巴蜀中学高一期中)已知函数y=x2-4x+5(x∈R).
(1)求关于x的不等式y<2的解集;
(2)若不等式y>|m-3|对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)由y<2得x2-4x+3<0,即1 所以y<2的解集为{x|1 (2)不等式y>|m-3|对任意x∈R恒成立?|m-3| 所以|m-3|<1恒成立,即-1 所以2 所以实数m的取值范围为(2,4).
素养培优练
1.(2020海南中学高一期中)若不等式ax2+bx+c≥0的解集是x-13≤x≤2,函数f(x)=cx2+bx+a,当x∈R时f(x)≥-4924恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析∵ax2+bx+c≥0的解集是x-13≤x≤2,
所以x=-13,x=2为方程ax2+bx+c=0的解,且a<0,
∴ba=-2+13=-53,ca=-2×13=-23,a<0,则b=-53a,c=-23a,
∴f(x)=cx2+bx+a=acax2+bax+1
=a-23x2-53x+1=-a3(2x2+5x-3),
∵a<0,对称轴为x=-54,∴-a3>0,
∴f(x)min=f-54=49a24≥-4924,
∴-1≤a<0,即a∈[-1,0).
答案[-1,0)
2.已知函数y=mx2-(m2+1)x+m(m∈R).
(1)当m=2时,解关于x的不等式y≤0;
(2)当m>0时,解关于x的不等式y>0.
解(1)当m=2时,不等式y≤0可化为2x2-5x+2≤0,即(2x-1)(x-2)≤0,解得12≤x≤2,
所以不等式y≤0的解集为x12≤x≤2.
(2)当m>0时,不等式可化为mx2-(m2+1)x+m>0,
即x2-m+1mx+1>0,则(x-m)x-1m>0,
当0m,则不等式的解集为
xx1m;
当m=1时,不等式化为(x-1)2>0,
此时不等式解集为{x|x≠1};
当m>1时,0<1m xx<1m,或x>m.