第一章测评-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含解析）

1132840011772900第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“?x∈N+,a≤x”的否定是(　　)
A.?x∈N+,a>x
B.?x?N+,a>x
C.?x∈N+,a>x
D.?x?N+,a>x
2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是(　　)
A.t>s
B.t≥s
C.t D.t≤s
3.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=xx+1x-2≥0,则A∩(?RB)=(　　)
A.(-1,2)
B.(-1,1)
C.(-1,2]
D.(-1,1]
4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1 A.{x|0 B.{x|x<0,或x>3}
C.{x|x>3}
D.{x|-2 5.命题“?x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥9 B.a≥8
C.a≥10 D.a≤10
6.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年年产量的平均增长率为x,则(　　)
A.x≥a+b2
B.x>a+b2
C.x≤a+b2
D.x 7.若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为(　　)
A.4 B.92
C.5 D.112
8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:
(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=?;
(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,
则有序集合对(A,B)的个数为(　　)
A.10 B.12 C.14 D.16
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.(2020山东泰安高一期末)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是(　　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac2>bc2,则a>b
C.若a>b,则1a<1b
D.若a>b,c>d,则a-d>b-c
10.(2020山东淄博七中高一月考)下列各结论正确的是(　　)
A.“xy>0”是“xy>0”的充要条件
B.x2+9+1x2+9的最小值为2
C.命题“?x>1,x2-x>0”的否定是“?x≤1,x2-x≤0”
D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件
11.(2020山东日照高一检测)若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是(　　)
A.-8 B.-5
C.1 D.4
12.(2020山东青岛高一质检)当一个非空数集G满足“任意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,ab∈G”时,我们称G就是一个数域,以下关于数域的说法.其中正确的选项有(　　)
A.0是任何数域的元素
B.若数域G有非零元素,则2 019∈G
C.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域
D.任何一个数域的元素个数必为奇数
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.若要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是　　　　　.?
14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=　　　,p+q=　　　.?
15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是　　　　　.?
16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x+4y的最值.
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:
甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4xy+4yx+8≥18,
乙:z=(x+2y)2x+4y≥22xy·28xy=16.
①你认为甲、乙两人解法正确的是　　　　　.?
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:　.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb≤c+dd.









18.(12分)设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A,B;
(2)设集合U=A∪B,求(?UA)∪(?UB)的所有子集.







19.(12分)(2020山东菏泽高一期末)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中.
已知集合A={x|x2-4x-12≤0},
B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.
(1)求集合A,B;
(2)若x∈A是x∈B成立的　　　　　条件,判断实数m是否存在?若实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.





20.(12分)(2020广东华南师大附中高一期中)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.
(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值;
(2)若b=2a,解关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.







21.(12分)(2020河南新乡高一检测)某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题,计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10 000 m2公寓楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为1 000元/m2,土地的征用面积为第一层的85倍,经工程技术人员核算,第一层建筑费用为360元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加50元/m2,设这幢公寓楼高层数为n,总费用为y万元.(总费用为建筑费用和征地费用之和)
(1)若总费用不超过835万元,求这幢公寓楼最高有多少层数?
(2)试设计这幢公寓的楼层数,使总费用最少,并求出最少费用.







22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数yx(x>0)的最小值;
(2)对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围.










1132840011772900第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“?x∈N+,a≤x”的否定是(　　)
A.?x∈N+,a>x
B.?x?N+,a>x
C.?x∈N+,a>x
D.?x?N+,a>x
答案C
2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是(　　)
A.t>s
B.t≥s
C.t D.t≤s
解析t-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.
答案D
3.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=xx+1x-2≥0,则A∩(?RB)=(　　)
A.(-1,2)
B.(-1,1)
C.(-1,2]
D.(-1,1]
解析由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.∴A=[-2,1],由x+1x-2≥0,得x≤-1或x>2.∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则?RB=(-1,2],∴A∩(?RB)=(-1,1].
答案D
4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1 A.{x|0 B.{x|x<0,或x>3}
C.{x|x>3}
D.{x|-2 答案B
解析∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1 ∴-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0,
∴-ba=-1+2=1,ca=-2,
∴b=-a,c=-2a,
由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,
得a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,
得ax2-3ax<0,
∵a<0,∴x2-3x>0,∴x<0或x>3,
∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.
5.命题“?x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥9 B.a≥8
C.a≥10 D.a≤10
解析当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥(x2)max.
因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9.
因为a≥9a≥10,a≥10?a≥9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要条件,D是既不充分也不必要条件.
答案C
6.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年年产量的平均增长率为x,则(　　)
A.x≥a+b2
B.x>a+b2
C.x≤a+b2
D.x 解析设该工厂原年产量为1,由题意得(1+a)(1+b)=(1+x)2,
∴x=(1+a)(1+b)-1≤(1+a)+(1+b)2-1=a+b2,当且仅当1+a=1+b即a=b时取等号.
答案C
7.若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为(　　)
A.4 B.92
C.5 D.112
解析∵正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,∴x+2y+x+2y22-8≥0,当且仅当x=2y时取等号.设x+2y=t>0,∴t+14t2-8≥0,∴t2+4t-32≥0,即(t+8)(t-4)≥0,∴t≥4,故x+2y的最小值为4.
答案A
8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:
(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=?;
(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,
则有序集合对(A,B)的个数为(　　)
A.10 B.12 C.14 D.16
解析根据条件,A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.可知
(1)当集合A只有一个元素时,集合B中有5个元素,1?A且5?B,此时仅有一种结果A={5},B={1,2,3,4,6};
(2)当集合A有两个元素时,集合B中有4个元素,2?A且4?B,此时集合A中必有一个元素为4,集合B中必有一个元素为2,故有如下可能结果:
①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共计4种可能.
(3)可以推测集合A中不可能有3个元素;
(4)当集合A中有4个元素时,集合B中有2个元素,此情况与情况(2)相同,只需A,B互换即可.共计4种可能.
(5)当集合A中有5个元素时,集合B中有1个元素,此情况与情况(1)相同,只需A,B互换即可.共计1种可能.
综上所述,有序集合对(A,B)的个数为10.
答案A
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.(2020山东泰安高一期末)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是(　　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac2>bc2,则a>b
C.若a>b,则1a<1b
D.若a>b,c>d,则a-d>b-c
解析A选项:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A不正确;
B选项:因为ac2>bc2成立,则c2>0,那么a>b,B正确;
C选项:2>-3,但是12>-13,C不正确;
D选项:因为c>d,则-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正确.
答案BD
10.(2020山东淄博七中高一月考)下列各结论正确的是(　　)
A.“xy>0”是“xy>0”的充要条件
B.x2+9+1x2+9的最小值为2
C.命题“?x>1,x2-x>0”的否定是“?x≤1,x2-x≤0”
D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件
解析xy>0?xy>0,故A正确;
y=x2+9+1x2+9,令t=x2+9≥3,
则y=t+1t,且在区间[3,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大,最小值为3+13=103,故B错误;
命题“?x>1,x2-x>0”的否定是“?x>1,x2-x≤0”,故C错误;
一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)显然有a+b+c=0,反之亦可,故D正确.
答案AD
11.(2020山东日照高一检测)若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是(　　)
A.-8 B.-5
C.1 D.4
解析由x2+3x-4<0,解得-4 令A={x|-4 x2-(2k+3)x+k2+3k>0即(x-k)[x-(k+3)]>0,解得xk+3,
令B={x|xk+3}.
由题意知A?B,所以k≥1或k+3≤-4,
即k∈(-∞,-7]∪[1,+∞).
答案ACD
12.(2020山东青岛高一质检)当一个非空数集G满足“任意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,ab∈G”时,我们称G就是一个数域,以下关于数域的说法.其中正确的选项有(　　)
A.0是任何数域的元素
B.若数域G有非零元素,则2 019∈G
C.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域
D.任何一个数域的元素个数必为奇数
解析当a=b时,由数域的定义可知,若a,b∈G,则有a-b∈G,即0∈G,故A是真命题;
当a=b≠0时,由数域的定义可知,a,b∈G,则有ab∈G,即1∈G,若1∈G,则1+1=2∈G,则2+1=3∈G,…,则1+2 018=2 019∈G,故B是真命题;
当a=2,b=4时,ab=12?G,故C是假命题;
∵0∈G,当b∈G且b≠0时,则-b∈G,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以数域的元素个数必为奇数,所以D是真命题.
答案ABD
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.若要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是　　　　　.?
解析由题意,设y=x2+(a2-1)x+a-2,要使得关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,根据一元二次函数的图象与性质,则满足当x=1时,y<0,即a2+a-2<0,即(a-1)(a+2)<0,解得-2 答案(-2,1)
14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=　　　,p+q=　　　.?
解析由A∩B={-1},知-1∈B,
∴(-1)2-(-1)+r=0,解得r=-2,
∴B={x|x2-x-2=0}={-1,2},
又A∪B={-1,2},A∩B={-1},
∴A={x|x2+px+q=0}={-1},即方程x2+px+q=0有两个相同的实数根-1,
∴Δ=p2-4q=0,且(-1)2+p(-1)+q=0,
解得p=2,q=1.所以p+q=3.
答案-2　3
15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是　　　　　.?
解析由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-52t万亩,
则税收收入为20-52t×24 000×t%.
由题意20-52t×24 000×t%≥9 000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.
∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元.
∴t的范围是[3,5].
答案[3,5]
16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x+4y的最值.
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:
甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4xy+4yx+8≥18,
乙:z=(x+2y)2x+4y≥22xy·28xy=16.
①你认为甲、乙两人解法正确的是　　　　　.?
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:　.?
答案①甲
②答案不唯一.
如:已知x>0,y>0,求z=(a+b)1a+1b的最小值.
甲:z=(a+b)1a+1b=1+ba+ab+1≥4,
乙:z=(a+b)1a+1b≥2ab·21a·1b=4.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb≤c+dd.
证明∵bc-ad≥0,bd>0,
∴bc≥ad,1bd>0,
∴bc·1bd≥ad·1bd,即cd≥ab,
∴cd+1≥ab+1,
∴c+dd≥a+bb,即a+bb≤c+dd.
18.(12分)设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A,B;
(2)设集合U=A∪B,求(?UA)∪(?UB)的所有子集.
解(1)根据题意得2∈A,2∈B,将x=2代入A中的方程得8+2a+2=0,解得a=-5,∴A={x|2x2-5x+2=0}=2,12,B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)由题意得全集U=A∪B=2,12,-5,A∩B={2},
∴(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)=12,-5.
∴(?UA)∪(?UB)的所有子集为?,{-5},12,-5,12.
19.(12分)(2020山东菏泽高一期末)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中.
已知集合A={x|x2-4x-12≤0},
B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.
(1)求集合A,B;
(2)若x∈A是x∈B成立的　　　　　条件,判断实数m是否存在?若实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解(1)由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6,
故集合A={x|-2≤x≤6},
由x2-2x+1-m2=0得x1=1-m,x2=1+m,
因为m>0,故集合B={x|1-m≤x≤1+m};
(2)若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,集合A是集合B的真子集,
则有1-m≤-2,1+m≥6,解得m≥5,
所以,实数m的取值范围是[5,+∞).
若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,
则有1-m≥-2,1+m≤6,解得0 所以实数m的取值范围是(0,3].
若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,
则有1-m=-2,1+m=6,方程组无解,
所以不存在满足条件的实数m.
20.(12分)(2020广东华南师大附中高一期中)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.
(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值;
(2)若b=2a,解关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.
解(1)由不等式的解集为(-1,2),
可知方程x2-ax-2x+b=0的两根为-1和2,
得a+2=-1+2,b=-1×2,解得a=-1,b=-2.
(2)由题意,知b=2a,
原不等式可化为x2-(a+2)x+2a>0;
因此(x-a)(x-2)<0.
①当a<2时,原不等式等价于a ②当a=2时,原不等式等价于(x-2)2<0,
解集为空集;
③当a>2时,原不等式等价于2 综上所述:当a<2时,原不等式的解集为(a,2);
当a=2时,原不等式的解集为空集;
当a>2时,原不等式的解集为(2,a).
21.(12分)(2020河南新乡高一检测)某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题,计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10 000 m2公寓楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为1 000元/m2,土地的征用面积为第一层的85倍,经工程技术人员核算,第一层建筑费用为360元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加50元/m2,设这幢公寓楼高层数为n,总费用为y万元.(总费用为建筑费用和征地费用之和)
(1)若总费用不超过835万元,求这幢公寓楼最高有多少层数?
(2)试设计这幢公寓的楼层数,使总费用最少,并求出最少费用.
解(1)每层建筑面积为10 000n,土地的征用的费用为1n×1.6×1 000=1 600n万元;
建筑费用为360n+n(n-1)2×501n=25n+335(万元);
所以总费用y=25n+1 600n+335,
所以25n+1 600n+335≤835,即n2-20n+64≤0,4≤n≤16(n∈N),
所以这幢公寓楼最高可以盖16层.
(2)由(1)知y=25n+1 600n+335
≥225n×1 600n+335=735,
当且仅当25n=1 600n时,即n=8,y=735为最小值.
所以设计这幢公寓为8楼层时,总费用最少为735万元.
22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数yx(x>0)的最小值;
(2)对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围.
解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4.
因为x>0,所以x+1x≥2.
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.
所以yx≥-2.
故当x=1时,yx的最小值为-2.
(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.
不妨设z=x2-2ax-1,
则只要z≤0在[0,2]上恒成立.
所以0-0-1≤0,4-4a-1≤0,
解得a≥34.所以a的取值范围是34,+∞.