第一章　1.2　集合的基本关系-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word版含解析）

1193800011950700第一章预备知识
§1　集合
1.2　集合的基本关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(　　)
A.A?B
B.C?B
C.D?C
D.A?D
2.(多选题)下列命题,错误的是(　　)
A.空集没有子集
B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若??A,则A≠?
3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B?A成立的a的值是(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.-1或1
4.满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数是(　　)
A.2
B.3
C.4
D.8
5.(多选题)已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合M可以为(　　)
A.{4,7}
B.?
C.{7,8}
D.{4,7,8}
6.设集合M={y|y=x2+1},N={x|y=x2+1},能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是(　　)
7.集合{x|18.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得集合B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
能力提升练
1.(多选题)(2020江苏苏州高一期末)已知集合A={x|ax≤2},B={2,
2},若B?A,则实数a的值可能是(　　)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
2.(2020江苏南京师大附中高一月考)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值组成的集合为　　　　　.?
3.下列各组中的两个集合相等的序号是　　　　　.?
①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};
②P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+};
③P={x|x2-x=0},Q=xx=1+(-1)n2,n∈Z.
4.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B?A,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
5.已知集合A=xx=19(2k+1),k∈±19,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　　.?
6.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若B?A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;
(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
素养培优练
　(2019江西石城中学高一期中)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算※,法则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是(　　)
A.27-1
B.211-1
C.213-1
D.214-1
1193800011950700第一章预备知识
§1　集合
1.2　集合的基本关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(　　)
A.A?B
B.C?B
C.D?C
D.A?D
解析正方形是邻边相等的矩形.
答案B
2.(多选题)下列命题,错误的是(　　)
A.空集没有子集
B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若??A,则A≠?
解析A错,空集是任何集合的子集;B错,如?只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.
答案ABC
3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B?A成立的a的值是(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.-1或1
解析由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.又∵B?A,∴a=-1,从而a2=1.
答案A
4.满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数是(　　)
A.2
B.3
C.4
D.8
解析
满足{1}?A?{1,2,3}的集合A为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.
答案C
5.(多选题)已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合M可以为(　　)
A.{4,7}
B.?
C.{7,8}
D.{4,7,8}
解析由题意,得M可以为?,{7},{4,7},{7,8},{4},{8},共六个,对照选项,ABC均可.
答案ABC
6.设集合M={y|y=x2+1},N={x|y=x2+1},能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是(　　)
解析∵M={y|y=x2+1}={y|y≥1},N={x|y=x2+1}=R,∴M?N,对应的Venn图是D.
答案D
7.集合{x|1解析因为{x|1答案14
8.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得集合B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
解因为集合B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,此时A={1,3,-1},B={3,1},符合题意.
若x+2=-x3,则x3+x+2=0,
所以(x+1)(x2-x+2)=0.
因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,
此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.
综上所述,存在实数x=1,使得集合B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.
能力提升练
1.(多选题)(2020江苏苏州高一期末)已知集合A={x|ax≤2},B={2,
2},若B?A,则实数a的值可能是(　　)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
解析因为B?A,所以2∈A,2∈A,
2a≤2,2a≤2,解得a≤1.
答案ABC
2.(2020江苏南京师大附中高一月考)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值组成的集合为　　　　　.?
解析因为集合A有且仅有2个子集,可得A中仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个实数解或有两个相等的实数解.
当a=0时,方程化为2x=0,解得x=0,此时A={0},符合题意;
当a≠0时,则由Δ=22-4·a·a=0,得a=±1,
当a=1时,解方程x2+2x+1=0得x=-1,
此时A={-1},符合题意,当a=-1时,解方程-x2+2x-1=0得x=1,此时A={1},符合题意;
综上可得满足题意的实数a可取值有0,-1,1,
所以实数a的取值组成的集合为{0,1,-1}.
答案{0,1,-1}
3.下列各组中的两个集合相等的序号是　　　　　.?
①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};
②P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+};
③P={x|x2-x=0},Q=xx=1+(-1)n2,n∈Z.
解析①中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,即Q表示偶数集,所以P=Q;
②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1?Q,所以集合P与集合Q不相等;
③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x=1+(-1)n2=0;当n为偶数时,x=1+(-1)n2=1,即Q={0,1},所以P=Q.
答案①③
4.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B?A,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
解析若B=?,则2a-1若B≠?,则a-1≤2a-1,即a≥0.
要使B?A,需满足a-1≥-1,2a-1≤1,解得0≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].
答案(-∞,1]
5.已知集合A=xx=19(2k+1),k∈±19,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　　.?
解析对于集合A,当k=2n时,x=19(4n+1)=4n9+19,n∈Z,当k=2n-1时,x=19(4n-2+1)=4n9?19,n∈Z,
所以集合A=xx=4n9±19,n∈Z.
由B=xx=4k9±19,k∈Z,可知A=B.
答案A=B
6.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若B?A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;
(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
解(1)当m+1>2m-1时,即m<2时,B=?,满足B?A.
当m+1≤2m-1时,即m≥2时,要使B?A成立,
需m+1≥-2,2m-1≤5,解得-3≤m≤3,故2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,3].
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以A的非空真子集个数为28-2=254.
(3)当x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B=?,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.
②若B≠?,则要满足条件m+1≤2m-1,m+1>5或m+1≤2m-1,2m-1<-2,解得m>4.
综上所述,实数m的取值范围为{m|m<2或m>4}.
素养培优练
　(2019江西石城中学高一期中)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算※,法则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是(　　)
A.27-1
B.211-1
C.213-1
D.214-1
解析由题意,当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;
当m,n不全为正奇数时,m※n=mn;
若a,b都是正奇数,则由a※b=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对有(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),满足条件的共8个;
若a,b不全为正奇数,则由a※b=16,可得ab=16,则符合条件的数对有
(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),共5个;
故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}中的元素个数是13,
所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是213-1.
答案C