《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 必修（第二册）练习：第九章检测题综合篇（Word版含解析）

1135380010858500《作业推荐》—第九章检测题综合篇
一、单选题(共 35 分)
1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
2.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )
A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.不能确定
3.完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是( )
①从30件产品中抽取3件进行检查；
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A.简单随机抽样，系统抽样，分层抽样； B.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样；
C.系统抽样，简单随机抽样，分层抽样； D.简单随机抽样，分层抽样，系统抽样；
4.分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（ ）
A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同
5.为了解某地区高一学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图（如图所示）.可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
6.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；
③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的14.
其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“?”表示服药者，“+”表示未服药者.
下列说法中，错误的是（ ）
A.服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低
B.未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高
C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94
D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5
二、填空题(共 25 分)
8.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为__________.
9.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为________．
10.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
11.已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b(a，b∈R)的方差为12，则a的值为_______．
12.A，B两人射击10次，命中环数如下：
A：8 6 9 5 10 7 4 7 9 5；
B：7 6 5 8 6 9 6 8 8 7
A，B两人的方差分别为 、 ，由以上计算可得 的射击成绩较稳定.
三、解答题(共 40 分)
13.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
14.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
15.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.
（Ⅰ）若n=19,求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
1135380010858500《作业推荐》—第九章检测题综合篇
一、单选题(共 35 分)
1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
【答案】A
【解析】
【分析】
可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】
设9位评委评分按从小到大排列为x1≤x2≤x3≤x4?≤x8≤x9．
则①原始中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9，后剩余x2≤x3≤x4?≤x8，
中位数仍为x5，∴A正确．
②原始平均数x=19(x1+x2+x3+x4?+x8+x9)，后来平均数x′=17（x2+x3+x4?+x8）
平均数受极端值影响较大，∴ x与x′不一定相同，B不正确
③S2=19x1?x2+x1?x2+?+x9?x2
s′2=17x2?x′2+x3?x′2+?+x8?x′2由②易知，C不正确．
④原极差=x9?x1，后来极差=x8?x2可能相等可能变小，D不正确．
【点睛】
本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
2.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )
A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据样本的特点可选择分层抽样.
【详解】
因为调查教师的工资情况需要分年龄和分级别，
所以使用分层抽样的方法能够正确反映不同年龄、不同等级的教师的工资情况，
按照年龄分层抽样或按等级分层抽样均可，
故选：C.
【点睛】
本题考查抽样方法，注意抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，它们的特点是：
（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；
（2）系统抽样时均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；
（3）分层抽样就是按比例抽取.
3.完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是( )
①从30件产品中抽取3件进行检查；
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A.简单随机抽样，系统抽样，分层抽样； B.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样；
C.系统抽样，简单随机抽样，分层抽样； D.简单随机抽样，分层抽样，系统抽样；
【答案】D
【解析】
【分析】
①中，总体数量较少，适合简单随机抽样；②中，三个年级有明显差异，适合分层抽样；③中，总体数量较多，又有编号，适合系统抽样.
【详解】
对于①，从30件产品中抽取3件进行检查，总体的数量较少，且个体差异不明显，符合简单随机抽样的特点；
对于②，该校高中的三个年级，是差异明显的三个部分，符合分层抽样的特点；
对于③，该剧场有28排，每排有32个座位，显然总体数量较多，又有编号，符合系统抽样的特点.
故选:D.
【点睛】
三种抽样方法的特点、联系及适用范围:
类别
共同点
各自特点
联系
适用范围
简单随机抽样
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体个数较少
系统
抽样
将总体均分成几部分，按预先定出的规则在各部分中抽取
在起始部分取样时，采用简单随机抽样
总体个数较多
分层
抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
4.分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（ ）
A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同
【答案】C
【解析】
【分析】
分层抽样需保证每个个体等可能入样，据此得到答案.
【详解】
保证每个个体等可能入样是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
故选：C
【点睛】
本题考查了分层抽样，意在考查学生对于分层抽样的理解.
5.为了解某地区高一学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图（如图所示）.可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
【答案】C
【解析】
【分析】
先计区间56.5,64.5的小矩形的面积，再乘以100.
【详解】
由频率分布直方图易得体重在56.5,64.5的学生的频率为：
0.03+0.05+0.05+0.07×2=0.4，
所以学生的人数为100×0.4=40.
故选：C.
【点睛】
本题考查频率分布直方图估计频数，考查数据处理能力，属于基础题.
6.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；
③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的14.
其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
【详解】
使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；
使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，813056290≈0.14，故超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以②错误；
使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为1654056290>14，所以③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
7.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“?”表示服药者，“+”表示未服药者.
下列说法中，错误的是（ ）
A.服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低
B.未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高
C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94
D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y值的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，服药组的指标x的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标y的均值小于100，未服药组的指标y的均值大于100，A选项正确；
对于B选项，未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，B选项错误；
对于C选项，服药组的指标x值有3个大于100，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，C选项正确；
对于D选项，未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查统计图表的应用，考查推理能力，属于基础题.
二、填空题(共 25 分)
8.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为__________.
【答案】160
【解析】
【分析】
利用频率分布直方图中频率之和为1，计算出得分不低于80分的频率为0.4，从而求出得分不低于80分以上的人数.
【详解】
得分不低于80分的频率为1?(0.015+0.025+0.030)×10=0.4
则得分不低于80分以上的人数为400×0.4=160
【点睛】
本题考查频率分布直方图.
频率分布直方图的纵坐标是频率÷组距，而不是频率．
频数÷ 样本容量＝频率，此关系式的变形为频数÷ 频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
9.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为________．
【答案】192
【解析】
【分析】
根据女学生的入样比与总体的入样比相等列等式可求出n的值.
【详解】
由于女学生的入样比与总体的入样比相等，则n200+1200+1000=801000，解得n=192.
故答案为：192.
【点睛】
本题考查分层抽样的定义和方法，根据每层的入样比与总体的入样比相等列等式是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
10.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0．98.
【解析】
【分析】
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】
由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98．
【点睛】
本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
11.已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b(a，b∈R)的方差为12，则a的值为_______．
【答案】±2
【解析】
由题意知，3a2=12，解得a=±2.
12.A，B两人射击10次，命中环数如下：
A：8 6 9 5 10 7 4 7 9 5；
B：7 6 5 8 6 9 6 8 8 7
A，B两人的方差分别为 、 ，由以上计算可得 的射击成绩较稳定.
【答案】3.6；1.4；B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：因为xA=8+6+9+5+10+7+4+7+9+510=7，xB=7+6+5+8+6+9+6+8+8+710=7，所以sA2=110[(8?7)2+(6?7)2+?+(5?7)2]=3.6，sB2=110[(7?7)2+(6?7)2+?+(7?7)2]=1.4，因为sA2>sB2，所以B的射击成绩较稳定．
考点：1、平均数；2、方差．
【方法点睛】
平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
三、解答题(共 40 分)
13.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
【答案】（1）a＝0.005（2）73 (分)（3）10
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到a的值；
（2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；
（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．
【详解】
解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为
0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为
5,40×12=20,30×43=40,20×54=25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.
【点睛】
本题考查频率分布直方图及计算，解题关键是认真识图，不遗漏条件，属于基础题.
14.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) a=0.35，b=0.10；(2) 4.05，6.
【解析】
【分析】
(1)由P(C)=0.70及频率和为1可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】
(1)由题得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35，由0.05+b+0.15=1?P(C)=1?0.70，解得b=0.10.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，
乙离子残留百分比的平均值为0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6
【点睛】
本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
15.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.
（Ⅰ）若n=19,求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【答案】(1)y=3800,x≤19,500x?5700,x>19,x∈N;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分x≤19及x＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.
试题解析：（Ⅰ）当时，y=3?800；当时，y=3?800+500(x?19)=500x?5?700，所以与的函数解析式为y=3?800,x≤19,500x?5?700,x>19,(x∈N).
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(3?800×70+4?300×20+4?800×10)=4?000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(4?000×90+4?500×10)=4?050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
【考点】函数解析式、概率与统计
【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.