第一章 1.5 第2课时
1．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
2．命题“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．?x∈R，x3－2x＋1＝0
D．?x∈R，x3－2x＋1≠0
3．写出下列命题的否定：
(1)?x∈R，|x|＋1－x≠0；
(2)?a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点．
4．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：与同一条直线垂直的两条直线平行；
(3)p：有些实数的绝对值是正数；
(4)p：某些平行四边形是菱形．
第一章 1.5 第2课时
1．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( D )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，可排除A，B．
2．命题“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( D )
A．?x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．?x∈R，x3－2x＋1＝0
D．?x∈R，x3－2x＋1≠0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，可排除C；由存在量词“?”应改为全称量词“?”，可排除B．
3．写出下列命题的否定：
(1)?x∈R，|x|＋1－x≠0；
(2)?a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点．
[解析] (1)命题的否定：?x∈R，|x|＋1－x＝0.
(2)命题的否定：?a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．
4．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：与同一条直线垂直的两条直线平行；
(3)p：有些实数的绝对值是正数；
(4)p：某些平行四边形是菱形．
[解析] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此?p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此?p：存在两条与同一条直线垂直的直线不平行，是假命题．
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此?p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．
(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此?p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．第一章 1.5 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．“?m，n∈Z，m2＝n2＋2
019”的否定是( )
A．?m，n∈Z，m2＝n2＋2
019
B．?m，n∈Z，m2≠n2＋2
019
C．?m，n∈Z，m2≠n2＋2
019
D．以上都不对
2．“a2＋b2≠0”的含义为( )
A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0
C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
3．若命题p：x∈(A∩B)，则?p是( )
A．x?A且x?B
B．x?A或x?B
C．x?A且x∈B
D．x∈(A∪B)
4．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；?p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；?p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；?p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；?p：?x∈R，x2＋x＋2>0
二、填空题
5．若命题p：?a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则?p：____.
6．若命题“?x∈{x|x≥－}，x＋m<0”是假命题，则实数m的取值范围是____.
三、解答题
7．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有一个实数x，使x3＋1＝0；
(2)四边形的对角线不都互相垂直；
(3)有一个点(x，y)，满足y＝2x＋1.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题?p为( )
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
2．(多选题)取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有( )
A．?x∈R，[2x]＝2[x]
B．?x∈R，[2x]＝2[x]
C．?x，y∈R，若[x]＝[y]，则x－y<1
D．?x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
二、填空题
3．命题p：?a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则?p为____.
4．以下四个命题：
①?x∈R，－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中假命题的序号为____.
三、解答题
5．已知命题p：?x≥－，3x＋2－a>0为真命题，求实数a的取值范围．
第一章 1.5 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．“?m，n∈Z，m2＝n2＋2
019”的否定是( C )
A．?m，n∈Z，m2＝n2＋2
019
B．?m，n∈Z，m2≠n2＋2
019
C．?m，n∈Z，m2≠n2＋2
019
D．以上都不对
[解析] 命题的否定是?m，n∈Z，m2≠n2＋2
019，故选C．
2．“a2＋b2≠0”的含义为( C )
A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0
C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
[解析] a2＋b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，故选C．
3．若命题p：x∈(A∩B)，则?p是( B )
A．x?A且x?B
B．x?A或x?B
C．x?A且x∈B
D．x∈(A∪B)
[解析] 命题p：x∈(A∩B)是指x∈A且x∈B，因此其否定为x?A或x?B．
4．对下列命题的否定说法错误的是( C )
A．p：能被2整除的数是偶数；?p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；?p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；?p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；?p：?x∈R，x2＋x＋2>0
[解析] A正确，B正确，C中“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误，D正确，故选C．
二、填空题
5．若命题p：?a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则?p：__?a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解__.
[解析] ?p：?a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解．
6．若命题“?x∈{x|x≥－}，x＋m<0”是假命题，则实数m的取值范围是__m≥__.
[解析] 命题“?x∈{x|x≥－}，x＋m<0”是假命题，即命题的否定为真命题．其否定为：“?x∈{x|x≥－}，x＋m≥0”，解得m≥.
三、解答题
7．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有一个实数x，使x3＋1＝0；
(2)四边形的对角线不都互相垂直；
(3)有一个点(x，y)，满足y＝2x＋1.
[解析] (1)命题的否定：?x∈R，x3＋1≠0；因为x＝－1时，x3＋1＝0，故原命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直；原命题的否定是假命题．
(3)命题的否定：对所有的点(x，y)，都不满足y＝2x＋1；原命题的否定为假命题．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题?p为( B )
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
[解析] 命题“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选B．
2．(多选题)取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有( BC )
A．?x∈R，[2x]＝2[x]
B．?x∈R，[2x]＝2[x]
C．?x，y∈R，若[x]＝[y]，则x－y<1
D．?x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
[解析] 根据新定义“取整函数”的意义知[2x]＝2[x]不一定成立，如x取1.5，[2x]＝3,2[x]＝2，A错误；x取1，[2x]＝2,2[x]＝2，B正确；在C中，设x＝n＋a(n∈Z,0≤a<1)，y＝m＋b(m∈Z,0≤b<1)，若[x]＝[y]，则n＝m，因此x－y＝a－b≤a<1，故C正确；x取1.6，y取1.6，[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝1＋1＝2，D错误，故选BC．
二、填空题
3．命题p：?a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则?p为__?a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解__.
4．以下四个命题：
①?x∈R，－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中假命题的序号为__①②③④__.
[解析] 因为x＝1时，－3×1＋2<0.
所以①为假命题；
当且仅当x＝±时，x2＝2，
所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题；
对?x∈R，x2＋1>0，所以③为假命题；
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
所以④为假命题．
所以①②③④均为假命题．
三、解答题
5．已知命题p：?x≥－，3x＋2－a>0为真命题，求实数a的取值范围．
[解析] 由?x∈{x|x≥－},3x＋2－a>0为真命题，则3×(－)＋2－a>0.
得a<1，所以实数a的取值范围为a<1.
