2.2基本不等式课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（20张PPT）

基本不等式
—— 解决简单的最大值、最小值问题——
左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?
新课导入
4个全等的直角三角形面积和为2ab
正方形ABCD的面积为
图中的相等与不等关系有：
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形
四个全等的直角三角形的面积的和小于正方形ABCD的面积
……
设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为 .
学习新知
一般地，对于任意实数a，b，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.
学习新知
重要不等式
例题1 判断下列不等式是否成立：
例题巩固
√
√
√
√
学习新知
一般地，对于任意实数a,b>0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式：
a,b的算术平均数
a,b的几何平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
证明：
要证 ①
只要证 ②
要证②，只要证 ③
要证③，只要证 ④
显然④是成立的. 当且仅当a=b时，④中的等号成立.
证明一：分析法
学习新知
一般地，对于任意实数a,b>0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.
证明二：图象法
AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
学习新知
半径不小于半弦
学习新知
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
填表比较：
注意从不同角度认识基本不等式
学习新知
思考：
重要不等式与基本不等式的变形
重要不等式：
，当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式：
，当且仅当a=b时，等号成立.
变形：
变形：
复习巩固
重要不等式：
，当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式：
，当且仅当a=b时，等号成立.
例题巩固
例题1 若x,y>0，且x+y=1,求xy的最大值.
变式 若x,y>0，且2x+y=1,求xy的最大值.
例题2 若x,y>0，且xy=1,求x+y的最小值.
变式 若x,y>0，且xy=1,求2x+y的最小值.
例题3
例题巩固
积定和最小，和定积最大。
应用基本不等式求最值的条件：

一正
a与b为正实数
二定
积定和最小，和定积最大
三相等
若等号成立，a与b必须能够相等
例题巩固
例题巩固
解：
例题4 已知x>0，求 的最小值.
变式1 已知x<0，求 的最大值.
变式3 已知x>0，求 的最小值.
变式2 已知x>2，能求 的最小值吗？
例题巩固
例题巩固
（1）求函数 的最小值
（2）已知0例题5 配凑——配式配系数，凑出定值
凑项
配系数
例题巩固
”1“的妙用
例题6 若x,y>0，且x+y=1,求 的最小值.
变式1 若x,y>0，且x+y=2,求 的最小值.
变式2 若x,y>0，且 ,求x+y的最小值.
例题巩固
例题7 已知 且满足
（1）求 的取值范围；
（2）求 的取值范围。
例题巩固