3.1.1函数的概念 课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（30张PPT）

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初中函数定义
在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．
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问题一： t 的变化范围是什么？ S的变化范围是什么？
问题二： t 和 S有什么关系？
实例1
“这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”?
对于数集A1中的任意时刻t，根据对应关系S=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应.
实例2
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问题一： d 的范围是什么？ w 的范围是什么？
问题二：d 和 w 有什么关系？
实例1和实例2中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗?
对于数集A2中的任意一个工作天数d，根据对应关系w=350d，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应.
实例3
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对于数集A1中的任意时刻t，根据图中曲线给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I和它对应.
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对于数集A中的任意一个年份y ，按照表中关系，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应.
实例4
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问题1 以上四个函数有什么共同特征？
共同特征：
① 都包含两个非空数集A、B；
② 两个数集之间都有一种确定的对应关系；
③ 对于数集A中的任意一个数x，按照某种对应关系，
在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
解析式，图像，表格都是一种对应关系
讲授新知
函数的定义：
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
显然，值域是集合B的子集．
函数三要素
一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？
讲授新知
y=ax+b
（a≠0）
R
R
y=ax2+bx+c
R
y=ax2+bx+c
R
问题2：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系
（1）定义域和对应法则是否给出
（2）根据所给的对应法则，自变量x在其定义域内是否都有唯一确定的一个函数值y和它对应
讲授新知
例题1 结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.
A
B
f
1
2
2
4
3
6


A
B
f
1
2
2
4
3
6

4
A
B
f
1
2
2
4
3

B
A
f
1
2
2
4
3
6
8

6
x
y
0
(A)
x
y
0
(B)
x
y
0
(D)
x
y
0
(C)
例题2 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
A
B
f
1
2
2
4
3
6
8



该函数的值域是什么? 集合B和值域是什么关系?
值域是集合B的子集
函数的定义：
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
显然，值域是集合B的子集．
2. 函数三要素：对应关系、定义域 、值域
复习回顾
3. 判断函数：根据对应法则，A中的任意一个元素，B中都有唯一确定的元素与之对应。
复习回顾
A
B
f
1
2
2
4
3
6
函数是非空数集到非空数集上的一种对应——A，B必须为非空数集；
集合A中数的任意性，集合B中数的存在性与唯一性；
集合A是函数的定义域，集合B不一定是函数的值域（值域是集合B的子集）；
关于y=f(x)：
函数定义的再理解
4. 关于y=f(x)：
“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；
y=f(x)不一定用解析式表示，还可以用图像，表格表示；
对于对应关系f，也可以表示成g(x)，F(x)，φ(x)等
f(x)与f(a)有什么区别？
f(a)表示当x=a时，函数y=f(x)的函数值，是一个常量；
f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量.
f (x)是一个符号，不能理解为 f 与 x 的乘积。
函数不一定有表达式。
x为自变量，a为参数
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
{x|a＜x＜b}
开区间
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
无穷区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
∪
用区间表示下列数集：
例题1
区间之间要用并集符号∪连接
（4）{x|2(2,3)
(5,9)
{x|x<0或x>0}
(-∞,0)
(0,+∞)
∪
分析：如果只给出解析式 y= f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。
例题2 求具体函数的定义域：
——函数自变量的取值范围。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
求函数的定义域的常见类型：
（5）当 f(x)是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x的取值的集合。
（2）当 f(x)为分式时，定义域为使分母不为0的x的集合；
（3）当 f(x)为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；
（1）当 f(x)为整式时，定义域为R；
（4）函数 f(x)=x0中的x不为0；
例题3 求抽象函数的定义域：
（1）已知f (x)的定义域为(3,5)，求f (2x+1)的定义域；

（2）已知f (2x+1)的定义域为(3,5)，求f (x)的定义域；

（3）已知f (2x+1)的定义域为(3,5)，求f (x-1)的定义域.
如果有两个函数，它们的定义域相同，对应法则也完全一致（从而它们的值域也相同），那么这两个函数是同一个函数。
例题4 判断下列各组函数是否表示同一个函数，并说明理由.
（1）
（2）
（3）
（4）
化简→对应关系
定义域（原函数）
(-∞，+∞)
[0，+∞)
不是同一函数
不同
相同
(-∞，+∞)
(-∞，+∞)
相同
相同
是同一函数
对应关系
定义域
【注意】对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.
求函数值
（1）求 的值；
例题1 已知函数 ， .
（2）当a >0时，求 的值;
（3）求 的解析式;
（一）观察法（直接法）
要求值域，先看定义域。
求下列函数的值域：
求函数值域
（二）配方法——形如 y=ax2+bx+c (a≠0)的函数
（三）换元法——形如 的函数
（1）求函数 的值域.
（四）分离常数法——形如 的函数
（1）求函数 的值域.
（五）判别式法——形如 （a1，a2不同时为0）的函数
（1）求函数 的值域.
（2）求函数 的值域.
对应关系
x
清 李善兰
“凡此变数中函彼变数，则称此为函数”
y
是 的函数，记作f(x)
匣，盒子