3.2.1 单调性与最大最小值（第1,2课时）课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（36张PPT）

3.2.1 单调性与最大最小值
——第一课时
2020.10.19
新课导入
问题1 观察以上几个函数的图象，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？
设函数的定义域为I，区间 。在区间 D 上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D上单调递增；在区间D上，若函数的图象（从左自右看）总是下降的，则称函数在区间D上单调递减。
图形语言定义
问题2 当一个函数在某一个区间上是单调递增（或单调递减）的时候，相应的自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？也就是如何从数量关系来刻画函数的这种性质？
新课讲授
①在区间 ________ 上，随着x的增大，f(x)的值 ________ ．
②在区间 ________ 上，随着x的增大，f(x)的值 ________ ．
随之减小
(-∞，0)
随之增大
[0 ，+∞)
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
f(x)=x2
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
在区间D上，若f(x)的值随x的增大而增大，则称函数f(x)在区间D上单调递增；若f(x)的值随x的增大而减小，则称函数f(x)在区间D上单调递减。
描述性定义
问题3 我们如何从函数值的角度证明函数 y=x2 在区间[0,+∞)上单调递增？
问题3 我们如何用从函数值的角度证明函数 y=x2 在区间[0,+∞)上单调递增？
设函数在区间(a,b)上，有无数个自变量，使得当a如果对于区间(a,b)上任意x有f(a)在函数y=x2，x∈[0,+∞)的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数在[0，+∞）上单调递增？
“许多个”不能代表“全部”
函数单调性的概念（形式化定义）
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间 ：
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
【注意】
函数的单调性是函数的“局部性质”，它与区间密切相关
思考：仿照单调递增的定义说出单调递减的定义．
在单调区间上单调递增的图象是上升的，单调递减的图象是下降的．
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)单调区间.
单调区间
例题1 下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=(x)的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调递增还是单调递减.
-5
O
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
【注意】
①各个单调区间用“，”或“和”隔开，不能用“∪”的符号，也不能用“或”；
②单个点不影响函数在该区间的单调性。
判断与书写函数的单调区间
练习1.如下图所为函数y=f(x)在[-4,7]的图像，则函数f（x）的单调递增区间是
练习2.某地一天内的气温Q(t)与时刻t之间的关系如下图所示，请写出其单调区间。
利用定义求证函数的单调性
例题2
1.取值：设x1 、x2 是给定区间内的任意两个值，且 x1 ＜x2 ；
2.作差：作差f (x1) － f (x2) ，并将此差式变形；
3.定号：判断f (x1) － f (x2) 的正负；
4.判断：根据f (x1) － f (x2) 的符号确定其增减性。
证明步骤
例题3
例题4
取值
对勾函数
定号
判断
作差
问题4 请同学们作出反比例函数的图象，并判断：
（1）函数的定义域 I 是什么？
（2）它在定义域 I 上的单调性是怎样的 ? 证明你的结论.
（1）函数单调性的概念
（2）函数单调区间
（3）利用定义证明函数单调性
课堂小结
3.2.1 单调性与最大最小值
——第二课时
函数单调性概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间 ：
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间 ：
同号递增
异号递增
函数单调性概念辨析
1 定义在(a,b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a,b)，使得x12 定义在(a,b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a,b)，使得x1×
×
作业本P39 T1
函数单调性概念辨析
5 若f(x)在区间I上为单调递增且 f(x1)< f(x2)（x1，x2∈I）,则x16 若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，则f(x)在区间 上也一定为减函数.
×
√
【注意】若函数 y=f(x)在其定义域内的两个区间I1，I2上都是单调递增（递减）的，不能就认为 y=f(x)在区间 上一定就是单调递增（递减）的.
作业本P39 T1
作业本P40 T13
函数单调性概念辨析
3 对任意的x1，x2∈(a,b)，且x1≠x2，当 时，f(x)在(a,b)上为减函数.
4 对任意的x1，x2∈(a,b)，且x1≠x2，当 时，f(x)在(a,b)上为减函数.
√
×
作业本P40 T12
例题1
取值
定号
下结论
作差
利用定义求证函数的单调性
对勾函数
对勾函数的图象
对勾函数
对勾函数的图象
一般对勾函数
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}函数
函数图象
单调性




利用函数图象判断函数的单调性
在(-∞,+∞)上是减函数
在(-∞,+∞)上是增函数
k>0
k<0
一次函数
y=kx+b（k>0）
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}函数
函数图象
单调性




利用函数图象判断函数的单调性
k>0
反比例函数
y=k/x（k≠0）
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增
k<0
例题1 函数 和 在 单调递减 ，求m范围.
例题2 下列函数在区间 上是减函数的是________________
利用函数图象判断函数的单调性
x∈[2,+∞)
x∈[-2,+∞)
x∈(-∞,3]
例题3 函数 单调递增区间是_________
变式1 函数 单调递增区间是_________
变式2 函数 单调递增区间是_________
变式3 若函数 在区间
上是单调递减的，则 的取值范围是_________
作业本P39 T8
作业本P39 T6
(-∞,0)和(0,+∞)
(-∞,-1)和(-1,+∞)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}函数
函数图象
单调性




利用函数图象判断函数的单调性
二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）
在 上单调递增
在 上单调递减
在 上单调递减
在 上单调递增
a>0
a<0
开口方向
对称轴
例题4 函数 单调递减区间是____________
单调递增区间是____________
变式1 函数 在区间
上是单调递减的，则 的取值范围是_________
变式2 函数 在区间 上是单调函数，则 的取值范围是_________
作业本P40 T15
(-∞,1]
(1,+∞]
例题5 画出函数 的图象，
并指出函数的单调区间。
作业本P40 T10
单调递增区间：(-∞,-1]和(0,1)
单调递减区间：(-1,0]和(1,+∞)
变式1 函数 单调递减区间是____________单调递增区间是_________
变式2 函数 单调递减区间是____________单调递增区间是_________
作业本P40 T14
周三午测T11
单调性与不等式
作业本P40 T11
作业本P40 T16
周三午测 T10、T18
感谢各位观看
THANK YOU