4.2 指数函数课件- 2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（38张PPT）

4.2 指数函数

2020.11.19
16384根
引例1 拉龙须糖
引例2 《庄子?天下》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请你写出 x天后，木棍的剩余长度 y 与天数x 所满足的关系式。
……
尝试归纳这两个特殊对象的共性，总结规律，抽象出一个新的函数模型。
（2）变量在指数的位置
（3）底数为常数
（4）系数为1
y = ax
（1）指数幂的形式
观察这两个函数的解析式的结构特征，与学过的幂函数y=x2的结构有什么区别吗？
问题1
指数函数定义
一般地，函数 y=ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
思考 定义中为什么要求常数a满足a>0且a≠1？
否则会出现什么情况呢？
①若a=0，则当x >0时，ax=0；
当x ≤ 0时，ax无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义.
③若a=1，则对于任何x∈R，ax=1，是一个常量，没有研究的必要
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1。
思考 定义中为什么要求常数a满足a>0且a≠1？
式子
名称
a
x
y
指数函数 y=a x


幂函数 y= x a



底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
例题1 根据指数函数的定义，判断以下例子是否为指数函数。
（1）y=3x
（2）y=x3
（3）y=(-3)x
（4）y=-3x
（5）y=πx
（6）y=(3-π)x
（7）y=32x
（8）y=xx
（9）y=3x+1
（10）y=(2a-1)x(a>1/2且a≠1)
√
√
√
√
练习1 已知 是指数函数，求a的值.
例题2
探究思路
从具体的函数入手（特殊→一般）
定义、图象、性质
（定义域、值域、单调性、奇偶性等）
作出图象?观察特征?得出性质（数形结合）
列表、描点、连线。
问题2 一般情况我们是如何去研究一个函数的？
研究思路
我们一般从哪些方面去研究函数？
如何研究指数函数的图象和性质？
描点法作图象的基本步骤：
用描点法来作出函数
和
的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
…
8
4
2
1
…
描点作图
思考
比较函数 和 的图象，它们有什么关系？能否利用函数 的图象，画出函数 的图象？
◆ 当a＞1时，函数在R上单调递增.
当0＜a＜1时，函数在R上单调递减.
（向上无限伸展，向下与x轴无限接近）
——图象特征
◆ 图象都在x轴上方.
◆ 图象过定点（0，1）.
◆底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称.
学生活动
◆ 图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称.
探究图象
x=1
?
y=ax(a>1）
y=ax (0图
象
?
?
性
质
?
?
?
?
?
?
(1)定义域: R
(2)值域：(0,+∞)
(3)图象过定点: (0,1）
(4)在R上是单调增函数
在R上是单调减函数
(5)非奇非偶函数
(6)函数y=ax与y=( )x的图象关于y轴对称
O
x
y
y=1
O
x
y
y=1
图象与性质
问题5 通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有哪些收获？
1、知识上：指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1和0＜a＜1时函数图象的不同特征和性质。
2、方法上：经历从特殊→一般的认知过程，从观察中获得知识，同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想。
课堂小结
例1.如图，试比较a，b，c的大小
指数函数图象性质的应用
式子
名称
a
x
y
指数函数 y=a x


幂函数 y= x a



底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
一般地，函数 y=ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
a>1
0图
象
性
质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)过定点:
(4)单调性：
(4)单调性：
(5)奇偶性：
(5)奇偶性：
R
(0,+∞)
(0,1)
指数函数的图象和性质
增函数
减函数
非奇非偶
非奇非偶
(6)当x>0时，y>1.
当x<0时，0(6)当x>0时，0　 当x<0时，y>1.
x
y
o
1
x
y
o
1
例题1 比较下列各题中两个值的大小
利用指数函数单调性比较数的大小
同底——单调性
转换为同底
例题1 比较下列各题中两个值的大小
利用指数函数单调性比较数的大小
指数相同——函数图象——底大图高
转换为同指数
例题1 比较下列各题中两个值的大小
利用指数函数单调性比较数的大小
不同底不同指数——中间量
练习1 比较下列各题中两个值的大小:
>
>
<
<
<
例题2 求下列函数的定义域与值域
指数形复合函数的定义域、值域和单调区间
练习2 求下列函数的定义域与值域
(2)
例题3 求下列函数的单调区间
练习3 求下列函数的单调区间
图象的平移变换：①y=f(x)→y=f(x+a)（左右平移——左加右减）
②y=f(x)→y=f(x)+b（上下平移——上加下减）
图象的对称变换：①y=f(x)→y=f(-x)（关于y轴的对称变换）
②y=f(x)→y=-f(x)（关于x轴的对称变换）
③y=f(x)→y=-f(-x)（关于原点的对称变换）
图象的翻折变换：①y=f(x)→y=|f(x)|
②y=f(x)→y=f(|x|)
函数图象的基本变换
（x轴上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去）
（y轴右侧的图象保持不变，y轴
左侧的图象去掉，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折过去得到）
例题3
指数函数图象的基本变换与应用
练习4
变式
C
D
练习5
变式
D
D
作业本：判断b(a-1)与0的大小关系.
指数函数的综合应用
已知奇偶性求参数值
x∈{x|x≠1}，f(-1)=-f(1)
x∈R，f(0)=0
f(-1)=f(1)
x∈R，f(0)=0
f(-1)=-f(1)
例题4
变式1
变式2
变式3
——特殊值法
指数函数的综合应用
ll. 判断函数的奇偶性与单调性
例题5
指数函数的综合应用
lll. 求函数解析式
例题6
指数函数的综合应用
lV. 求函数值域
例题7
指数函数模型的实际应用
1
2
指数函数模型的实际应用
3
4
指数函数模型的实际应用