4.5.1函数的零点与方程的解课件- 2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2020.12.3
新课导入
问题1 求下列方程的解.
隋唐数学家王孝通
7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法
北宋数学家贾宪
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法
南宋数学家秦九韶
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法
9世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法.
1541年，意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法.
1545年，意大利数学家卡尔达诺的《大术》一书中，记载了费拉里的四次方程的一般解法.
19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上代数方程没有根式解.指数方程、对数方程等超越方程也没有求根公式.
新课导入
问题2 若y=f(x)的图象如图所示，那么方程f(x)=0是否存在实数解？
问题3 完成下表，观察方程解与函数图象与x轴的交点，有什么发现？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}方程
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
函数的图象



方程的实数解



函数的图象与x轴的交点


无实数解
没有交点
新课讲授——
P50 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
与二次函数的零点一样，对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x)与x轴交点的横坐标
方程f(x)=0的实数解
形
数
特殊
一般
牛刀小试
练一练 请画出下列函数的简易图象，判断其是否有零点，并求出其零点.
注意：零点是一个实数，是指函数与x轴交点的横坐标
问题4 求方程lnx+2x-6=0的实数解.
方程lnx+2x-6=0是否存在实数解？如果有，有几个？
超越方程
大部分的超越方程只能求出近似解
求超越方程的近似解：二分法，迭代法，牛顿法，割线法，二次插值法，切比雪夫迭代法……
问题5 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，想一想，两个零点附近函数值变化有什么特点？
（1）在[-2,1]上，我们发现函数f(x)在区间(-2,1)内有零点x=_______,有f(-2)_____0，f(1)_____0,得到 f(-2)·f(1)_____0（填>或<）
（2）在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间(2,4)内有零点x=_______,有f(2)_____0，f(4)_____0,得到 f(2)·f(4)_____0（填>或<）
问题6 通过(1)(2)的探索，你是否可以归纳出f(x)在[a,b]上满足怎么样的条件时，f(x)在[a,b]上存在零点.
3
问题6 通过(1)(2)的探索，你是否可以归纳出f(x)在[a,b]满足怎么样的条件时，f(x)在[a,b]上存在零点.
练一练 f(x)= ex+4x的零点所在区域为（ ）
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
问题4 方程lnx+2x-6=0是否存在实数根？如果有，有几个？
定理辨析：判断正误
（1）若f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
（2）若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则有f(a)·f(b)<0.
（3）若f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.
函数零点存在定理的三个注意点：
1、函数在区间上是连续的；
(1)
(2)
(3)
2、定理不可逆——函数零点存在定理为一充分不必要条件；
3、至少只存在一个零点。
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
新课讲授
问题7 观察如下三个函数图象，想一想，函数要满足什么条件在区间[a,b]上只有一个零点？
如果函数y=f(x)在[a,b]上，图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)·f(b)<0，且是单调函数. 那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.
例题巩固
例题1 判断下列函数在给定区间内是否有零点.
(1) f(x)=x2-2x-2在[1,2]上有零点吗？
(2) f(x)=-x2+4x-3在[2,4]上有零点吗？
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你能解决哪些问题？
通过本节课的学习，你体会到哪些数学思想方法？
需要进一步研究的问题是什么？
课堂小结
复习回顾
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x)与x轴交点的横坐标
方程f(x)=0的实数解
形
数
注意：零点是一个实数，是指函数与x轴交点的横坐标
1、函数的零点的定义：
使 的实数 叫做函数 的零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
复习回顾
2、函数零点存在定理：
例题巩固
函数零点存在性判断
A
例题1
作业本P79 T7
问题7 观察如下三个函数图象，想一想，函数要满足什么条件在区间[a,b]上只有一个零点？
如果函数y=f(x)在[a,b]上，图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)·f(b)<0，且是单调函数. 那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.
例题巩固
函数零点个数判断
1、利用函数零点存在定理
作业本P79 T3、T9、T11
例题2
例题巩固
例题3 函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2、代数法：求方程f(x)=0的实数解
作业本P79 T1、T10
3、数形结合法：借助函数图象
1、利用函数零点存在定理
例题巩固
已知函数 ，函数 ，则函数 的零点个数为_________.
练习1
例题巩固
函数零点的综合应用
二次函数根的分布
例题4
作业本P79 T5
例题巩固
关于x的方程ax2－2(a+1)x+a－1=0，求a为何值时：
(1)方程有一根;
(2)方程有一正一负根;
(3) 一根大于1,一根小于1;
(4) 两根都大于1.
二次函数根的分布
练习2