1.4.1二次函数（第二课时）课件-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第一章（29张PPT）

4.1一元二次函数
第二课时
制作老师：胡琪
§4　一元二次函数与一元二次不等式
教学目标
01
02
理解并掌握用二次函数的图像研究值域
利用图像直观判断与分析二次函数值的变化趋势
二次函数值域问题
重点
难点
含参区间上的二次函数值域问题
环节一
二次函数值的变化趋势
二次函数的性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
????=????????????+????????+????????≠????
图像 　
????<0
最值
????????????????=?????????????????????????????
????????????????=?????????????????????????????
增加与减小
?∞,?????2????减，?????2????,+∞增
?∞,?????2????增，?????2????,+∞减
对称性
对称轴????=?????????????
????>????
?
解题指导
一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 函数值的变化趋势
(1)当a>0时,在区间 ?∞,????????????? 上,y随x的增大而减小;在区间 ?????????????,+∞上,y随x的增大而增大;简记:左减右增;
(2)当a<0时,在区间?∞,?????????????上,y随x的增大而增大;在区间 ?????????????,+∞上,y随x的增大而减小;简记:左增右减.
?
角度一
定义域是R
试述一元二次函数y=3x2-6x-1函数值的变化趋势
思路
配方成????=?????????????????+????，结合图像观察
?
解：????=??????????????????????，抛物线开口向上，对称轴????=????，在区间上????,+∞，y随x增大而增大；在区间?∞,????上，y随x增大而减小
?
微练
一元二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7)点.
试述函数值的变化趋势.
思路
求出????,配方成????=?????????????????+????，结合图像观察
?
因为y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7)点,得7=-0+(m-1)×0+m,所以m=7;则y=-x2+6x+7, 因为y=-x2+6x+7=-(x-3)2+16,所以对称轴为直线x=3,所以在区间
?∞,????上,y随x的增大而增大;在区间 ????,+∞ 上,y随x的增大而减小.
?
角度二
定义域是区间
试述一元二次函数y=3x2-6x-1,????∈?????,????上?函数值的变化趋势
?
思路
配方成????=?????????????????+????，结合图像和区间观察
?
解：????=??????????????????????，抛物线开口向上，对称轴????=????，且定义域是?????,????，所以，在区间上????,????，y随x增大而增大；在区间?????,????上，y随x增大而减小
?
-2
X=1
3
x
o
微练
试述一元二次函数y=3x2-6x-1,????∈?????,?????上?函数值的变化趋势
?
思路
配方成????=?????????????????+????，结合图像和区间观察
?
解：????=??????????????????????，抛物线开口向上，对称轴????=????，且定义域是?????,?????，所以，在区间?????,?????上，y随x增大而减小。
?
-2
X=1
3
x
o
-1
角度三
在区间(2,+∞)上,函数y=x2-mx+5的函数值y随x的增大而增大,则m的取值范围为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4] D.(-∞,2]
思路
配方成????=?????????????????+????，结合图像（可以画简图，体现开口方向和对称轴）和区间观察
?
????=????????
?
逆向求参
y随x的增大而增大全部区间是????????,+∞
?
依题意(2,+∞)? ????????,+∞
?
????????≤????，????≤????
?
微练
若函数y=x2-2ax在区间(-∞,5]上y随x增大而减小,则实数a取值范围。　　　　
思路
配方成????=?????????????????+????，结合图像（可以画简图，体现开口方向和对称轴）和区间观察
?
????=????
?
y随x的增大而减小的全部区间?∞,????
?
依题意?∞,??????∞,????
?
所以，????≥????，????∈????,+∞
?
微练
若函数y=x2-2ax在区间(-∞,6]上y随x增大而减小,在[6,+∞)上y随x增大而增大,则实数a=　　　　
思路
配方成????=?????????????????+????，结合图像（可以画简图，体现开口方向和对称轴）和区间观察
?
????=????
?
由题知二次函数图象的对称轴为直线x=6.所以a=6.
环节二
二次函数的最值
求一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值的一般步骤
(1)“化”:采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)“求”:当a>0时,函数在x=h处y有最小值,ymin=k;当a<0时函数在x=h处y有最大值,ymax=k.
解题策略
提示
如果给定区间，要考虑区间与对称轴的位置关系，如果不确定，需分类讨论。
角度一
用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值.
(1)y=2x2-4x-3;(2)y=-5x2-20x-26.
【解析】(1)配方得y=2x2-4x-3=2 ?????12?5,所以该函数图象开口向上,对称轴为直线x=1;当x=1取得最小值,最小值为ymin=-5;
?
定义域R
角度一
用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值.
(1)y=2x2-4x-3;(2)y=-5x2-20x-26.
【解析】(2)配方得y=-5x2-20x-26=-5????+22-6,所以该函数图象开口向下,对称轴为直线x=-2;
当x=-2取得最大值,最大值为ymax=-6.
?
定义域R
角度二
若一元二次函数y=8x2-(m-1)x+m-7的最小值为0,则m=　　　　
【解析】由题意得即(m-1)2-4×8(m-7)=0.解得m=9或m=25.
答案:9或25
逆向求参
角度三
区间上最值问题
01
轴定区间定
03
轴动区间定
02
轴定区间动
04
轴动区间动
当 a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 [m ，n]上 f (x) 的最值：
（ 1 ） 当?????????????∈????,????时 ， f ( x) 的 最 小 值 是????????????????????????????? ，最大值是f (m)、f (n) 中的较大者。
（2 ）当?????????????≤????， 时，若，由 f ( x) 在 ????,????上是增加，则 f ( x) 的最小值是 f (m) ，最大值是 f (n)
（3）若?????????????≥????，由 f ( x) 在 ????,????上是减少，则 f ( x) 的最大值是 f (m) ，最小值是 f (n)
当a< 0 时，可类比得结论。
?
考向一
函数y =?????????+?????????????在区间[0 ， 3] 上的最大值是_________，最小值是______
?
【解析】抛物线开口向下，对称轴是????=2，在区间内，如图
?
轴定区间定
最大值????????=????，最小值????????=?????
?
考向二
函数y =?????????????+????在区间[???? ， ????+????] 上的最小值
?
【解析】抛物线开口向上，对称轴是????=1.
?
轴定区间动
????>????
?
????????????????????=????????=?????????????+????
?
????≤????≤????+????
?
????????????????????=????????=????
?
????+?????
????????????????????=????????+????=????????+????
?
f????????????????=?????????????+????,????>????????,????≤????≤????????????+????,?????
综合
分类讨论后，要记着总结成分段形式
考向三
函数y =????????+????????+????，????≥????，在区间[????? ????] 上的最值
?
【解析】抛物线开口向上，对称轴是????=?????2.因为????≥2，则?????2≤?1，如图。
?
轴动区间定
最小值?????????=?????????，最大值????????=????+????
?
由于限定了a，所以，没有出现分类讨论，控制了难度。实际考题中，可能包含分类讨论
考向四
函数y =??????????????????????+?????????????????????????,????>????，在区间????,+∞上的最小值
?
【解析】当3?2????≥????,0?
轴动区间动
当3?2????1，f????????????????=????????=?????32
?
????????????????????=?????????????????????????,????????
?
考向五
逆向求参
????????=??????????????????????+????????,知????????≤????????，????≤????????，????,??????∞,????，????????????????????=????????=????????，????????????????????=????????=????????，∴????=?????,????=????
?
已知函数????????=?????????????+????在区间????,????上最大值????????，最小值，????????求????,????值
?
单刀直入，避免了分类讨论。
环节三
小结
课堂小结
1．核心要点
应用 二次函数图像研究函数值变化趋势；
2．数学素养
1.通过图像研究培养想象力，数形结合能力；
2. 借助图像与性质应用，培养逻辑推理能力与素养
应用 二次函数图像研究函数最值；
谢谢观看
课件制作老师：胡琪