5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）word含解析

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第5.5.2课时
简单的三角恒等变换
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数是（
）
A．奇函数不是偶函数
B．偶函数不是奇函数
C．奇函数且是偶函数
D．非奇非偶函数
2．若，且，则x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的最小正周期为（
）
A．
B．
C．
D．
4．成立的条件是（
）
A．是第一象限的角
B．
C．
D．以上都不对
5．已知，，下列命题正确的是（
）
A．函数的最小正周期为
B．函数是偶函数
C．函数的最小值为
D．函数的一个单调增区间为
6．已知sin
θ＝，cos
θ＝，则tan等于（
）
A．－
B．5
C．－5或
D．－或5
7．已知cos
α＝－，＜α＜π，则等于（
）
A．－
B．
C．－
D．
8．当时，若有最小值，有最大值1，则、可以取的值为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B．若A＞B，则sin
A＞sin
B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D．若三角形ABC为斜三角形，则
10．tan（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，，则（
）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
12．如图，四个全等的直角三角形拼成图1所示的菱形和图2所示的正方形弦图．若直角三角形的斜边长为10，则以下结论正确的是（
）
A．图1菱形面积的最大值为100
B．图1菱形的两条对角线之和的最小值为
C．当图2小正方形的边长为2时，图1菱形的一条对角线长为12
D．当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，图2小正方形的面积为20
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知sin＝－，则＝________.
14．若，则___________.[化成的形式，其中，]
15．当函数取最大值时，此时__________.
16．已知三角式：①；②；③；④.当时，与恒等的是__________.（选填序号）
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知函数.
（1）求函数的最大值，并指出取到最大值时对应的x的值；
（2）若，且，计算的值.
18．已知，，求和的值.
19．已知函数，，.
（1）求的对称轴方程；
（2）若的最大值为，求的值及此时对应的值；
（3）若定义在非零实数集上的奇函数在上是增函数，且，求当恒成立时，实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）求最小的正数m，使得函数的图像向右平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
21．设，，其中为非零实常数．
（1）若，，求；
（2）试讨论函数在上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．
22．已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值及函数图像的对称中心；
（2）作函数关于轴的对称图像得函数的图像，再把函数的图像向右平移个单位得函数的图像，求函数的单调减区间.
参考答案
1．A
【解析】解：因为
所以
，
，
是奇函数．
故选：．
2．C
【解析】∵sinx＞cosx，
∴sinx﹣cosx＞0，
即sin（x）＞0，
∴sin（x）＞0．
∵x∈[0，2π]，
∴x，
∵0＜xπ，即x时，sin（x）＞0，
∴在区间[0，2π]内使得sinx＞cosx的x的取值范围是（，）．
故选：C．
3．B
【解析】
故选：B.
4．D
【解析】因为等式左边需满足，即
而等式右边需满足，即，所以，
所以等式成立需满足，所以A、B、C均不对，所以选：D.
故选：D.
5．D
【解析】解：因为，，
所以，所以函数的最小正周期为，所以A错误；
因为，所以函数为奇函数，所以B错误；
因为，所以函数的最小值为，所以C错误；
由，得，所以函数的增区间为，所以为函数的一个单调区间，所以D正确，
故选：D
6．B
【解析】由sin2θ＋cos2θ＝1，
得，解得m＝0或8，
当m＝0时，sin
θ<0，不符合.
所以m＝0舍去，故m＝8，，，
则.
故选：B.
7．D
【解析】根据二倍角公式可得，
所以，
又＜α＜π，所以，
所以.
故选：D
8．A
【解析】由已知可得，其中
故当时，有最小值
即
(1)
又有最大值1,故当时，有最大值
(2)
由(1)(2)可得
解得或
当时，;当时，,又
故当时，
故答案为:
A.
9．ABD
【解析】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；
对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin
A＞sin
B，所以B正确；
对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
10．AC
【解析】因为tan，故A
正确；
，故B错误；
∵sin2α＝1﹣cos2α
∴tan，故C正确，D错误；
故选：AC.
11．AC
【解析】
所以，故A正确
令可得，满足的有，故B错误
的最小正周期为，故C正确
当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误
故选：AC
12．ACD
【解析】解：因为直角三角形的斜边长为10，
设小边所对的角为，则直角三角形的两个直角边长为，，
所以图1菱形面积，故正确；
图1菱形的两条对角线之和为，故错误；
当图2小正方形的边长为2时，令长直角边为，短直角边为，可得，，
解得，，可得图1菱形的一条对角线长为12，一条对角线为16，故正确；
当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，令长直角边为，短直角边为，
由余弦定理可得，解得，，
可得图2小正方形的面积，故正确．
故选：．
13．
【解析】因为，
所以cos
x＋cos
.
故答案为：.
14．
【解析】，，又，则，
∴.
故答案为：.
15．
【解析】
.
当时，即时，
函数取得最大值，
故答案为：
16．②
【解析】解：：①，不正确；②，正确；③，但是，错误；④=，错误；
故答案为：②.
17．（1）当，时，；（2）.
【解析】
，
（1），则，即，
所以，
当，即时，．
（2），，
∵，∴
，
∴，
∴
．
18．；.
【解析】，
又，，
；
，，，
.
19．（1）；（2），；（3）
【解析】（1）,
令，解得，
又，则
，
即的对称轴方程为.
（2）若的最大值为，则，
解得，此时.
（3）由题意知，或，
①当时，，∴，则；
②当时，，∴，则；
③当时，，
满足题意.综上，.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）
，
将向右平移m个单位后可得为偶函数，
所以，则，
因为，所以最小正数的值为；
（2）令，则由得，则，
所以，
令，可得在单调递减，在单调递增，
则，又，所以，
则不等式恒成立等价于在恒成立，
即在恒成立，
则，即.
21．（1）；（2）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；既不是减函数，也不是增函数，证明见解析.
【解析】（1）（1）由已知，
由得：，
，
，．
（2）由已知，得．
①∵当时，对于任意的，总有，
∴是奇函数．
②当时，∵或等．
∴既不是奇函数，又不是偶函数．
∵，故不是增函数，
又∵，故不是减函数．
∴既不是减函数，也不是增函数．
22．（1），对称中心为；（2）.
【解析】（1），
当时，，
所以当时，取得最大值为，所以，
则，
令，则，
所以的对称中心为；
（2）和关于轴对称，，
把函数的图像向右平移个单位得，
令可得
故的单调减区间为.