5.7三角函数的应用 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）word含解析

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第5.7课时
三角函数的应用
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数的周期，振幅，初相分别是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，2，
2．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（
）
A．2h米
B．h米
C．h米
D．2h米
3．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
4．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱经过最低点开始计时，则10分钟后离地面的高度为（
）
A．43米
B．78米
C．118米
D．121米
5．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（
）
A．
B．
C．
D．
6．某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（
）
A．75米
B．85米
C．100米
D．110米
7．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则（
）．
A．
B．
C．
D．
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（
）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当，的最大值为
D．当时，
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（
）
A．该质点的运动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8
s
10．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（
）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
11．一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（
）
A．点第一次到达最高点需要10秒
B．在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米
C．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米
12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（
）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
三、填空题（本大题共4小题）
13．在公园中有一个做匀速旋转运动的摩天轮，已知小明从摩天轮的最低点进入吊篮，他离地高度与乘坐摩天轮的时间之间的关系为，则小明重新回到摩天轮的最低点所共时间最少是__________min．
14．如果音叉发出的声波可以用函数描述，那么音叉声波的频率是___________.
15．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；
（2）这段曲线的函数解析式为______________.
16．已知函数的图像与轴的一个交点为，且与点相邻的一个最高点为，则当时，函数与函数的图像的所有交点的横坐标之和为______.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．如图，它表示电流，在一个周期内的图象．
（1）试根据图象写出的解析式；
（2）在任意一段秒的时间内，电流既能取得最大值，又能取得最小值吗？
18．如图，某海港一天从的水位高度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于时为轮船最佳进港时间，那么该海港在，轮船最佳进港时间总共多少小时？
19．一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求：
（1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式；
（2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？
20．一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.
（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度（m）表示为时间（s）的函数；
（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？
（3）记，求证：不论为何值，是定值.
21．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）若R＝45
m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)
22．如图，直角坐标系建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为圆心，为半径的圆弧，后一段是函数，时的图像，图像的最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）若在湖泊内修建如图的矩形水上乐园，其中折线为水上赛艇线路，问点落在圆弧上何处时赛艇线路最长？
参考答案
1．C
【解析】函数的周期为，
振幅为，
初相为.
故选C.
2．A
【解析】
如图所示，，，
故答案为：A
3．C
【解析】∵秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，
∴，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，
∴.
故选：C
4．D
【解析】设10分钟后到达点，作于，如图所示
，，
，
，
摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：（米．
故选：D．
5．A
【解析】依题意，，解得，
又，
．
又（3），
，
．
，
．
故选：A
6．B
【解析】设他与地面的高度与时间的关系为
，，，，
由题意可知，，，
，
即，
又，
即，
故，
，
(7)．
故选：B．
7．B
【解析】解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，
故设直角三角形较大直角边为，则另一直角边为，
所以，解方程得：，
∴，，则，
∴．
故选：B.
8．D
【解析】由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．故不正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
9．BCD
【解析】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8
s，所以A错，D正确；
该质点的振幅为5，所以B正确；
由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3
s和0.7
s时运动速度最大，在0.1
s和0.5
s时运动速度为零，故C正确．
综上，BCD正确．
故选：BCD.
10．AB
【解析】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，该函数在取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线，B选项正确；
对于C选项，由图象可得，解得，，
图象经过点，，.
，，则，，
所以，函数解析式为，C选项错误；
这一天的函数关系式不一定适用于第二天，要具体情况具体分析，所以，D选项错误.
故选：AB
11．BC
【解析】解：对于选项C，由题意可得：点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，即选项C正确；
对于选项A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误；
对于选项B，令，解得，
即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，即B正确；
对于选项D,因为
，即点在水面下方，距离水面2.4米,所以D错误，
综上可得选项B,C正确，
故选：BC.
12．AD
【解析】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，
代入可得＝6sin
φ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；
因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当时，，此时，点，，故D正确，
故选：AD．
13．8
【解析】由题意，函数是一个周期函数，且周期为,
所以小明重新回到摩天轮的最低点所共时间最少一个周期，即.
故答案为：.
14．210
【解析】由题可得音叉声波的周期为，所以音叉声波的频率为.
故答案为：210.
15．50
30
【解析】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，
故，所以，
又由图象可得半周期为，，故，
又时，，∴
，∴.
故.
故答案：50，30，.
16．
【解析】由题意可得：
，则，
所以，
由一个最高点为，则，
，
代入可得：，
由，可得：，
，
如图：与函数的图像的共有6个交点，
分别关于，所有交点的横坐标之和为.
故答案为：.
17．（1）；（2）不能.
【解析】（1）由题图知，，
∴，所以，
又是该函数图象的零点，
∴结合图形可得：，即，符合，
∴．
（2）不能．因为由（1）有，所以不可能．
18．（1），；（2）．
【解析】（1）由图可知，，．
∵，∴，解得，
∴．
将，代入上式，解得，，
∵，∴，
故该曲线的函数解析式为，．
（2）由题意得，即，解得，，即，．
∵，∴当时，即，
∴该海港在的轮船最佳进港时间总共为．
19．（1），；（2）．
【解析】（1）设，
由题意得：，，；
则，当时，，即；
因此，；
因此，，；
（2）由题意：，即：；
则：；
又因为，
所以．
20．（1）坐标系见解析，；（2）1s；（3）证明见解析.
【解析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系，
设，则，
因为，所以，所以，
当时，，即，所以，
因为，所以，所以.
（2）由（1）知，
令，可得，
所以，解得，
所以当时，点第一次到达最高点，
∴点第一次到达最高点大约要的时间.
（3）由（1）知，
，
所以（为定值）.
21．（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35
m2.
【解析】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin
θ，OF＝Rcos
θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos
θ－Rsin
θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin
θ(Rcos
θ－Rsin
θ)＝R2(2sin
θcos
θ－2sin2θ)＝R2(sin
2θ－1＋cos
2θ)＝R2sin－R2，θ∈.
（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2
025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35
m2.
22．（1），；（2）当点坐标为时赛艇线路最长.
【解析】（1）由图象知，，即，则，
将代入，则，
则，又，，
所以，；
（2）在中令，得，∴.
连接，设，，则.
设赛艇线路长为，则，
当时，有最大值，此时.
所以当点坐标为时赛艇线路最长.