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第1章
直线与方程
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（
）
A．
B．
C．45°
D．135°
【答案】C
【分析】
依题意可知直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，结合的范围可得结果.
【详解】
依题意可知直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，又，故.
故选：C.
2．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
设直线，，的倾斜角分别为，，
由图知直线的倾斜角为锐角，所以，
直线的倾斜角，为钝角，所以，
当倾斜角为钝角时，倾斜角越大斜率越大，
，所以，
所以，
故选：A.
3．已知直线与直线垂直，则（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用两直线垂直的公式，即可求解.
【详解】
由两直线垂直，可知，解得：.
故选：C
4．已知直线，，则与间的距离为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据斜率相等判断两直线平行，再根据两平行线间距离公式即可求解.
【详解】
由可得直线斜率为，
斜率为，
所以与平行，
所以与间的距离，
故选：B.
5．已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
求出线段的中点，再由，可得线段的垂直平分线的斜率为，利用点斜式即可求解.
【详解】
由点，，则线段的中点为，
因为，所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理可得.
故选：B
6．设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（
）
A．或
B．
C．
D．或
【答案】D
【分析】
如图，求出可得斜率的取值范围.
【详解】
由题设可得，
因为直线与线段相交，则或，
故选：D.
7．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则的面积取得最小值时直线l的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设直线方程为，将点的坐标代入可得，再利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的值，进而可得直线方程
【详解】
解：设直线方程为，
把点代入得，可得，
从而，当且仅当时等号成立，这时，，
从而所求直线方程为．
故选：B．
8．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（
）
A．无论，，如何，总有唯一交点
B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点
D．存在，，使之无交点
【答案】A
【分析】
根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】
因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．如果，，那么直线经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】ACD
【分析】
把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.
【详解】
因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，，故，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，
故选：ACD.
10．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（
）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
【答案】AD
【分析】
讨论直线过原点和直线不过原点两种情况可求.
【详解】
若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则，可得，
综上，a的值可能是1或.
故选：AD.
11．已知直线，，则（
）
A．恒过点
B．若，则
C．若，则
D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【分析】
A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.
【详解】
，
当，即，即直线恒过点，故A不正确；
若，则有
，解得：，故B正确；
若，则有，得，故C不正确；
若直线不经过第三象限，则当时，，
，解得：，
当时，直线，也不过第三象限，
综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
12．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（
）
A．
B．1
C．2
D．5
【答案】CD
【分析】
经分析可得三线不共点，所以只需直线与另两条直线不平行，即可求得的范围．
【详解】
由题意可得直线与都经过原点，
而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以.
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知三角形的两个顶点、，两边和的中点分别在x轴、y轴上，则顶点C的坐标是______
【答案】
【分析】
利用中点坐标公式即可得出.
【详解】
设，由题意可得：
，，
解得，
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了中点坐标公式，属于基础题.
14．直线与轴的交点是，若该直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率是_______________．
【答案】
【分析】
设直线的倾斜角为，易得直线的斜率为，设所得直线的倾斜角为，则直线的斜率由求解.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
直线与轴的交点是，
设该直线绕点逆时针旋转得到直线的倾斜角为，
则直线的斜率是，
故答案为：-3
15．已知定点、，直线：（为常数），若点、到直线的距离相等，则实数的值是______．
【答案】1或
【分析】
分和经过线段的中点两种情况求实数的值.
【详解】
当直线时，满足条件，,
或是当直线经过线段的中点时，满足条件，的中点坐标是，
代入直线方程得，，得，
所以实数的值是或.
故答案为：或
16．已知两点、，动点在直线上运动，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】
根据题意画出图形，求出点A关于直线的对称点，即为的最小值.
【详解】
根据题意画出图形，如图所示：
设点A关于直线的对称点为，
所以有，解之得，即，
连接，则即为的最小值，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）分截距都为，与截距都不为两种情况讨论可得；
（2）直线不经过第三象限则斜率小于等于，纵截距大于等于，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
（1）当截距都不为，则斜率时，即，符合题意；
当截距都为，即纵截距时，即，符合题意；
故或
（2）因为，即，
若不经过第三象限，则，解得，
故实数的取值范围为.
18．（12分）如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）（–5，–4）
（2）
【分析】
（1）设点，根据题意写出关于的方程组，得到点坐标；（2）由两点间距离公式求出，再由两点得到直线的方程，利用点到直线的距离公式，求出点到的距离，由三角形面积公式得到答案.
【详解】
（1）由题意，设点，
根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
根据中点公式，可得，解得，
所以点的坐标是．
（2）因为，
得．
，
所以直线的方程为，即，
故点到直线的距离，
所以的面积．
【点睛】
本题考查中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于简单题.
19．（12分）已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；
（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值
【详解】
解：（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则，
∴可以化简为，
又直线与直线的距离，
或，
综上：.
20．（12分）已知直线经过点．
（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
(1)分直线斜率存在与不存在设出的方程，再按点到直线距离列式计算即可得解；
(2)设出直线与两条已知直线的交点坐标，结合已知条件列出方程组求解即可作答.
【详解】
(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足原点到直线的距离为2，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
于是得，解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
(2)设直线与直线交于点，与直线交于点
因被点平分，即，，则，，
因，则，解得，，
即，直线的斜率是，直线l方程为，即，
所以直线的方程为：.
21．（12分）已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
求（1）AC所在的直线的方程；
（2）点B的坐标．
【答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．
【分析】
(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可；
（2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可.
【详解】
因为AC⊥BH，
所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.
（2）设B(x0，y0)，则AB的中点为.
联立得方程组，
化简得解得，
故B(－1，－3)．
【点睛】
(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
22．（12分）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.
【分析】
（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）易知当定点与连线垂直时，点到直线距离最大；求出方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得；利用两点间距离公式可求得最大值；
（3）利用直线方程可坐标，并确定的取值范围，利用表示出，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得的值，由此可得直线方程.
【详解】
（1）由直线方程整理可得：，
由得：，直线恒过定点；
（2）由（1）知：直线恒过定点，
则当与直线垂直时，点到直线距离最大，
又所在直线方程为：，即，
当与直线垂直时，，解得：；
则最大值；
（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，
令得：，即；
令得：，即；
又位于轴的负半轴，，解得：；
，
令，则，，
，
，，
则当，即时，，，
此时直线的方程为：.
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第1章
直线与方程
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（
）
A．
B．
C．45°
D．135°
2．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线与直线垂直，则（
）
A．2
B．
C．
D．
4．已知直线，，则与间的距离为（
）
A．1
B．
C．
D．
5．已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（
）
A．或
B．
C．
D．或
7．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则的面积取得最小值时直线l的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（
）
A．无论，，如何，总有唯一交点
B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点
D．存在，，使之无交点
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．如果，，那么直线经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（
）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
11．已知直线，，则（
）
A．恒过点
B．若，则
C．若，则
D．当时，不经过第三象限
12．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（
）
A．
B．1
C．2
D．5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知三角形的两个顶点、，两边和的中点分别在x轴、y轴上，则顶点C的坐标是_______________．
14．直线与轴的交点是，若该直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率是_______________．
15．已知定点、，直线：（为常数），若点、到直线的距离相等，则实数的值是_______________．
16．已知两点、，动点在直线上运动，则的最小值为_______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
18．（12分）如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．（12分）已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
20．（12分）已知直线经过点．
（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
21．（12分）已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
求：（1）AC所在的直线的方程；
（2）点B的坐标．
22．（12分）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
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