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第一章
空间向量与立体几何
一、单选题
1．已知向量
，
如果
，那么
等于（
）
A．
B．1
C．
D．5
【答案】B
【分析】
利用空间向量共线的条件求解即可
【详解】
，
，
，
故选：B
2．若平面的法向量分别为，则（
）
A．
B．
C．相交但不垂直
D．以上均不正确
【答案】C
【分析】
根据平面法向量的定义，由既不平行也不垂直即可得解.
【详解】
显然不平行，而，
故不垂直，
所以法向量既不平行也不垂直，
所以相交但不垂直，
故选：C
3．已知点，，，又点在平面内，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果.
【详解】
由题意，得
，
则，
因为P在平面ABC内，并设未知数a，b，
则，
，
即，解得.
故选：B
4．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
结合空间向量的加法法则直接求解即可.
【详解】
连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以
，
故选：B
5．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.
【详解】
平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
6．已知正四棱锥，侧棱长是底面边长的2倍，是的中点，则所成的角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．
【详解】
解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，所以
，，，
，，
．
．
与所成角的余弦值为．
故选：．
7．在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】
以点为原点建立空间直角坐标系，由可得点的轨迹方程，从而由平面知识即可求出线段AM的长的最小值．
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，
所以，由可得，即，所以线段AM的长的最小值为．
故选：B．
8．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（
）
A．2
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】
先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.
【详解】
因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由?∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC,
,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
故选:D.
【点睛】
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
二、多选题
9．已知向量，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
利用向量坐标运算法则直接求解．
【详解】
解：向量，
，，，故正确；
，1，，故错误；
，故错误；
，故正确．
故选：．
10．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】
根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】
，
若且，
则，解得或，
所以或.
故选：AC
11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（
）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【分析】
根据共线向量的坐标表示可知A错误；
根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；
利用向量夹角公式计算可知C错误；
根据法向量的求法可知D正确.
【详解】
对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
12．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且?和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指?食指?中指的指向一致)；（2）的模
(表示向量?的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（
）
A．与方向相反
B．
C．与正方体表面积的数值相等
D．与正方体体积的数值相等
【答案】ABD
【分析】
由向量的外积的性质逐个分析判断即可
【详解】
A选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，
B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，
不可能相等，故B错，
C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形的面积为，则与正方体表面积的数值相等，故C对，
D选项，与的方向相反，则，故D错，
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，则在上的投影为__________
【答案】
【分析】
根据空间点的坐标求出的坐标，结合空间向量的几何意义即可求出结果.
【详解】
因为，所以
设与的夹角为，所以根据空间向量的几何意义可得：
在上的投影为，
故答案为：
14．已知点，，，若，，三点共线，则______.
【答案】
【分析】
首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以，
解得
故答案为：
15．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角的公式即可求出.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
直线与平面所成角为，
，
故答案为：.
16．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1.则A1C与平面C1BD_______（填“垂直”或“不垂直”）；A1C的长为_______.
【答案】垂直
【分析】
设，，，可得出，计算得出，可得出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立，求的平方即可求A1C的长.
【详解】
设，，，由题意可得，
则
，，同理可证，
，故平面．
∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1，
,
,
即A1C的长为.
故答案为：垂直；
四、解答题
17．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
（1）用，，表示；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量的加法运算用基底表示向量即可；（2）计算，展开，利用向量的数量积公式计算可求出结果.
【详解】
（1）根据向量的三角形法则得到.
（2）∵
，
∴，即的长为.
18．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
【答案】（1）；（2）；（3），．
【分析】
（1）利用向量的数量积运算求解；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）取轴上的单位向量，由与轴垂直，且，利用数量积运算求解.
【详解】
（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．
19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出的方向向量和平面D1AC的法向量，最后根据距离公式求解即可.
（2）设，分别求出直线AP与CD1的方向向量，根据数量积等于0求出的值，最后确定点P的位置.
【详解】
解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，
以射线OA?OB?OO1分别为x?y?z轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，相关点的坐标为A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，
设平面D1AC的法向量为，
由，，
得，
令z=1，则
因，
故点B1到平面D1AC的距离为.
（2）设，
则由，，
得.
又，
故当时，.
于是，在线段BO1上存在点P，使得AP⊥CD1，
此时.
【点睛】
用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．
（1）求证：
（2）求AC与PD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
以，，为基底，利用向量法求解.
(1)两条直线垂直可转化为两个向量垂直，利用两个非零向量数量积为零可得两向量垂直；
(2)两条直线的夹角可转化为两个向量的夹角，利用向量数量积求夹角.
【详解】
(1)证明：结合图形，知，，
因为底面，所以，，
有，.
又，所以.
所以.
又，所以，.
所以.
(2)设，
因为，
所以，.
，
记直线和所成角为，
则
所以直线和所成角的余弦值为.
21．如图,垂直于梯形所在的平面,为中点，,四边形为矩形,线段交于点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点,使得与平面所成的角的大小为？若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点,．
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值；
（2）假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置．
【详解】
（1）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，所以.
设平面的法向量为，
则即令，得
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
，
故二面角的余弦值为.
（3）设存在点满足条件.
由，
设，整理得，
则.
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
解得，
故在线段上存在一点，且.
22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为.
（1）求证：平面.
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
①四棱锥的体积为，②与平面所成的角为，
③.若___________，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）连结交于，连结，证，即可证得所求；
（2）选①，利用四棱锥的体积为，得出，再利用向量法即可得出所求；选②，利用与平面所成的角为，得出，再利用向量法即可得出所求；选③利用，得出，再利用向量法即可得出所求.
【详解】
（1）连结交于，连结，
在菱形中，为的中点，
又因的中点为，
所以，
因为平面，
所以平面；
（2）选①，设，
，
所以，即，
如图，以边上的中线为轴，为轴，为轴，建系，
则，，，
，，，
因为平面，
所以即为平面的法向量，
设为平面的法向量，
则，
令，则，所以，
所以，
所以二面角的余弦值.
选②，取的中点，连结，，
因为的中点为，
所以，，
因为平面，
所以平面，
所以即为与平面所成的角的平面角，
即，所以，
由，得
下面步骤同①；
选③，
因为，所以，即，
下面步骤同①.
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第一章
空间向量与立体几何
一、单选题
1．已知向量
，
如果
，那么
等于（
）
A．
B．1
C．
D．5
2．若平面的法向量分别为，则（
）
A．
B．
C．相交但不垂直
D．以上均不正确
3．已知点，，，又点在平面内，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（
）
A．
B．
C．
D．
5．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．已知正四棱锥，侧棱长是底面边长的2倍，是的中点，则所成的角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（
）
A．
B．
C．1
D．
8．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（
）
A．2
B．
C．2
D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（
）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
12．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且?和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指?食指?中指的指向一致)；（2）的模
(表示向量?的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（
）
A．与方向相反
B．
C．与正方体表面积的数值相等
D．与正方体体积的数值相等
三、填空题
13．已知，则在上的投影为__________
14．已知点，，，若，，三点共线，则______.
15．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
16．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1.则A1C与平面C1BD_______（填“垂直”或“不垂直”）；A1C的长为_______.
四、解答题
17．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
（1）用，，表示；
（2）求的长.
18．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．
（1）求证：
（2）求AC与PD所成角的余弦值．
21．如图,垂直于梯形所在的平面,为中点，,四边形为矩形,线段交于点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点,使得与平面所成的角的大小为？若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为.
（1）求证：平面.
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
①四棱锥的体积为，②与平面所成的角为，
③.若___________，求二面角的余弦值.
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