天津市2020～2021学年度第二学期期末三校联考
高二数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每题5分，共45分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
A
B
D
A
C
C
C
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
题号
10
11
12
13
14
15
答案
4
三、解答题（本大题共5小题，共75分.答题时，请写出必要的推理过程和演算步骤）
16.（本小题满分14分）
【解析】
（1）
……………………………………1分
………3分
令，得，.
将列表
0
+
0
极小值
极大值
函数的单减区间是，；单增区间是
.
………5分
所以当时，函数取得极小值；
当时，函数取得极大值
………8分
（2）因为函数在（2，4）上单调递减，则，在x∈（2，4）上恒成立.
……………………10分
实数a的取值范围
…………………………………14分
17.
（本小题满分15分）
（1）当n=1时，
…………………………1分
当时，……①
①-②得，=2
所以
，
又因为
所以
……………………………………………………4分
因为
所以数列{}是公差为1的等差数列，
所以，
所以
，所以
……………………7分
（2）
……………………9分
所以
=
…………………………………12分
又
所以当n，当n
所以
的最大值为
……………………………………15分
（本小题满分15分）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
,,,
,.
又因为M,N分别为和的中点，
得,.
（1）证明：依题意，可得为平面的一个法向量.=.
由此可得
=0，又因为直线平面，所以∥平面
.
………4分
（II）解：，.设为平面的法向量，则
即不妨设，可得.
……6分
设为平面DE
法向量，则.扣又，得
不妨设z=1，可得.
…8分
因此有
…9分
所以，平面与平面所成角的余弦值为
…10分
（III）解：依题意，可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，
由已知，得=，
………12分
整理得，又因为，解得.
所以，线段的长为.
…15分
19.（本小题满分15分）
解：（1）设数列{的公差为d，数列{}的公比为q，
及，得
………2分
所以
…………3分
…………4分
（Ⅱ）由（1）可得,设的前n项和为
==
……6分
所以时
==
…7分
时
…9分
所以
……10分
（Ⅲ）
……12分
所以
……………………………15分
20.
解：（Ⅰ）当时，，.
由，切点，所以切线方程
…4分
（Ⅱ）
（Ⅲ）令，
由，得，
…11分
则，，．
……12分
令，则．
…13分
当时，，为增函数，
所以，即．
…14分
令，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，
……15分
故当时，有2个解，即有2个零点，则的取值范围为．
……16分
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高二数学
第Ⅰ卷（选择题，共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每题5分，共45分）
1．已知集合，则集合
（A）
（B）
（C）
（D）
2．命题“，”的否定是
（A），
（B），
（C），
（D），
3．设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）不充分也不必要条件
4．函数的图象大致是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．设，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6．已知直线与曲线相切，则下列直线不可能与平行的是
（A）
（B）
（C）
（D）
7．已知为上的奇函数，且，若当，，则（
）
（A）
（B）
（C）1
（D）2
8．已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
9．已知函数，若方程有且仅有3个不等实根，则实数k的取值范围是
（A）
（B）
（C）或
（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共105分）
（请将答案书写在答题卡上）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10．已知函数，则___________.
11．已知函数，其中是的导数，则_________．
12．函数的单调递增区间为_________．
13．已知，，若，使得成立，则实数的最小值是_________．
14．已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为_________．
15．已知函数，若存在互不相等的实数，使得，则的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.答题时，请写出必要的推理过程和演算步骤）
16．（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围.
17．（本小题满分15分）
已知数列的前项和是，，数列满足且.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若，求的前项和及的最大值.
18．（本小题满分15分）
如图，在四棱柱中，侧棱,,,
,且点和分别为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
19.（本小题满分15分）
等差数列的前项和是，数列是等比数列，满足，.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）若满足，求的前项和;
（Ⅲ）求.
20.（本小题满分16分）
已知函数，,
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
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