初中数学华师大版八年级上学期第11章11.1.2立方根同步练习
一、单选题
1．（2021·兰州模拟） 的立方根为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： 的立方根为：-2，
故答案为：B.
【分析】根据立方根定义a的立方根为可得结果.
2．（2021八下·东坡开学考）下列式子中，成立的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝－2
C． =－2 D． =2
【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用立方根的性质，对各选项逐一判断可得答案.
3．（2021七下·麒麟期中）有下列说法：①负数没有立方根；②不带根号的数一定是有理数；③有理数和数轴上的点一对应；④ 是7的平方根，其中正确的（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；有理数及其分类
【解析】【解答】①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；
②不带根号的数不一定是有理数，如，故②说法错误；
③负数由立方根，故③说法错误；
④因为7的平方根为，所以是7的一个平方根，故④说法正确。
故答案为：B
【分析】利用有理数与数轴、无理数的定义及立方根和平方根的定义逐项判定即可。
4．（2020八上·永年期末）若 ，则a的值可以是（ ）
A．-9 B．-4 C．4 D．9
【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】A
故答案为：A．
【分析】根据立方根的性质解题．
5．（2021八上·台州期末）若 ， 且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
， ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出a、b，根据有理数乘法法则确定a、b，计算即可.
6．（2020八上·邢台月考）下列运算中：① ；② ；③ ；④ ，错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】① ，故该项不符合题意；
② 无意义，故该项不符合题意；
③ ，故该项不符合题意；
④ ，故该项不符合题意.
共4个错误的，
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根和立方根的定义分别解答即可.
7．（2020七上·嘉兴期中）若一个正数的平方根是 和 ， 的立方根是-2，则 的算术平方根是（ ）
A．0 B．4 C．-4 D．
【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵一个正数的平方根是m+3和2m-15，
∴m+3+2m-15=0，
∴m=4，
又∵n的立方根为-2，
∴n=（-2）3=-8，
∴-n+2m=-（-8）+2×4=16，
∴=4，
∴-n+2m 的算术平方根是4.
故答案为：B.
【分析】一个数的平方根互为相反数，相反数的和为0，列式计算求得m值，再根据立方根的定义求得n值，将m、n值代入-n+2m，再求其算式平方根.
8．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.2 立方根同步练习）若 是m+n+3的算术平方根， 是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．无法确定
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】解答：∵ 是m+n+3的算术平方根，∴m-n=2，∵ 是m+2n的立方根，∴m-2n+3=3.∴ 解得 ∴ ， ，∴B-A=-1.
分析：根据算术平方根和立方根的定义，可知m-n=2和m-2n+3=3，从而解出m，n．
二、填空题
9．（2021七下·肇庆月考） 的平方根是 ，-0.001的立方根是 。
【答案】；-0.1
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：的平方根为±；-0.001的立方根为-0.1
【分析】根据平方根以及立方根的含义，判断得到答案即可。
10．（2021七下·孝义期中）若 ， ，那么 ．
【答案】23700
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：23700
【分析】利用立方根的性质求解即可。
11．（2021七下·兴业期中）定义新运算“&”如下：对于任意的实数a，b，若a≥b，则a&b＝；若a＜b，则a&b＝.下列结论中一定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①当a≥b时，a&b≥0； ②2013&2021的值是无理数；
③当a＜b时，a&b＜0； ④2&1＋1&2＝0．
【答案】①③④
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：①当a≥b时，a&b=≥0，故①正确；
②2013&2021=，故②错误；
③当a＜b时，a-b＜0，则a&b=＜0，故③正确；
④2&1＋1&2＝=1+（-1）=0，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①根据新定义得出a&b=，再根据二次根式的非负性得出≥0，即可判断①正确；
②根据新定义计算出2013&2021=-2，即可判断②错误；
③根据新定义得出a&b=，再根据负数的立方根是负数，得出a&b＜0，即可判断③正确；
④根据新定义计算出2&1＋1&2＝1+（-1）=0，即可判断④正确.
12．（2021·包头）一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为 ．
【答案】2
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ 和 是正数a的平方根，
∴ ，
解得 ，
将b代入 ，
∴正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填：2．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
13．（2020七下·朝阳期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）求 ；
①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定 是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定 的十位上的数是 ；
由此求得 ＝ ．
（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ＝ ．
【答案】（1）两；9；3；39
（2）47
【知识点】立方根及开立方；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
③33＜59＜43，因此可以确定 的十位上的数是3，
最后得出 ＝39，
故答案为：两，9，3、39；（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定 的十位数字为4，
于是可得 ＝47；
故答案为：47．
【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
三、综合题
14．（2021七下·松原期中）已知 的算术平方根是1， 的立方根是2．
（1）求x、y的值；
（2）求 的平方根．
【答案】（1）解：∵ 的算术平方根是1，
则 =12，
解得x=1，
∵2x+y﹣6的立方根是2．
∴2x+y﹣6=23=8，
∴2+y-6=8，
解得y=12，
∴x=1，y=12
（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，
∵36的平方根是±6，
∴3xy的平方根±6．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；代数式求值
【解析】【分析】（1）利用算术平方根、立方根的性质求解即可；
（2）将x、y的值代入，再利用平方根的性质求解即可。
15．（2021七上·文登期末）本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“ ” 一个数a的立方根可以表示为“ ”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；
③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；
⑤ 的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
① ；
② ；
③比较大小： ．
【答案】（1）±1；±2；±3；一般地，如果一个数 的四次方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的四次方根
（2）；；； 没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根
（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等；；；
【知识点】平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）类比平方根，立方根的定义，当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以填表如下：
结合上述表格，类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果 ，那么x叫做 a的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；⑤ 的四次方根是 ；⑥ 没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
① ；
②
③ ， ， ，
【分析】根据平方根和立方根来求出四次方根的定义，再进行作答求解即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第11章11.1.2立方根同步练习
一、单选题
1．（2021·兰州模拟） 的立方根为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2021八下·东坡开学考）下列式子中，成立的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝－2
C． =－2 D． =2
3．（2021七下·麒麟期中）有下列说法：①负数没有立方根；②不带根号的数一定是有理数；③有理数和数轴上的点一对应；④ 是7的平方根，其中正确的（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2020八上·永年期末）若 ，则a的值可以是（ ）
A．-9 B．-4 C．4 D．9
5．（2021八上·台州期末）若 ， 且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
6．（2020八上·邢台月考）下列运算中：① ；② ；③ ；④ ，错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020七上·嘉兴期中）若一个正数的平方根是 和 ， 的立方根是-2，则 的算术平方根是（ ）
A．0 B．4 C．-4 D．
8．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.2 立方根同步练习）若 是m+n+3的算术平方根， 是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．无法确定
二、填空题
9．（2021七下·肇庆月考） 的平方根是 ，-0.001的立方根是 。
10．（2021七下·孝义期中）若 ， ，那么 ．
11．（2021七下·兴业期中）定义新运算“&”如下：对于任意的实数a，b，若a≥b，则a&b＝；若a＜b，则a&b＝.下列结论中一定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①当a≥b时，a&b≥0； ②2013&2021的值是无理数；
③当a＜b时，a&b＜0； ④2&1＋1&2＝0．
12．（2021·包头）一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为 ．
13．（2020七下·朝阳期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）求 ；
①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定 是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定 的十位上的数是 ；
由此求得 ＝ ．
（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ＝ ．
三、综合题
14．（2021七下·松原期中）已知 的算术平方根是1， 的立方根是2．
（1）求x、y的值；
（2）求 的平方根．
15．（2021七上·文登期末）本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“ ” 一个数a的立方根可以表示为“ ”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；
③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；
⑤ 的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
① ；
② ；
③比较大小： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： 的立方根为：-2，
故答案为：B.
【分析】根据立方根定义a的立方根为可得结果.
2．【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用立方根的性质，对各选项逐一判断可得答案.
3．【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；有理数及其分类
【解析】【解答】①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；
②不带根号的数不一定是有理数，如，故②说法错误；
③负数由立方根，故③说法错误；
④因为7的平方根为，所以是7的一个平方根，故④说法正确。
故答案为：B
【分析】利用有理数与数轴、无理数的定义及立方根和平方根的定义逐项判定即可。
4．【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】A
故答案为：A．
【分析】根据立方根的性质解题．
5．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
， ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出a、b，根据有理数乘法法则确定a、b，计算即可.
6．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】① ，故该项不符合题意；
② 无意义，故该项不符合题意；
③ ，故该项不符合题意；
④ ，故该项不符合题意.
共4个错误的，
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根和立方根的定义分别解答即可.
7．【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵一个正数的平方根是m+3和2m-15，
∴m+3+2m-15=0，
∴m=4，
又∵n的立方根为-2，
∴n=（-2）3=-8，
∴-n+2m=-（-8）+2×4=16，
∴=4，
∴-n+2m 的算术平方根是4.
故答案为：B.
【分析】一个数的平方根互为相反数，相反数的和为0，列式计算求得m值，再根据立方根的定义求得n值，将m、n值代入-n+2m，再求其算式平方根.
8．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】解答：∵ 是m+n+3的算术平方根，∴m-n=2，∵ 是m+2n的立方根，∴m-2n+3=3.∴ 解得 ∴ ， ，∴B-A=-1.
分析：根据算术平方根和立方根的定义，可知m-n=2和m-2n+3=3，从而解出m，n．
9．【答案】；-0.1
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：的平方根为±；-0.001的立方根为-0.1
【分析】根据平方根以及立方根的含义，判断得到答案即可。
10．【答案】23700
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：23700
【分析】利用立方根的性质求解即可。
11．【答案】①③④
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：①当a≥b时，a&b=≥0，故①正确；
②2013&2021=，故②错误；
③当a＜b时，a-b＜0，则a&b=＜0，故③正确；
④2&1＋1&2＝=1+（-1）=0，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①根据新定义得出a&b=，再根据二次根式的非负性得出≥0，即可判断①正确；
②根据新定义计算出2013&2021=-2，即可判断②错误；
③根据新定义得出a&b=，再根据负数的立方根是负数，得出a&b＜0，即可判断③正确；
④根据新定义计算出2&1＋1&2＝1+（-1）=0，即可判断④正确.
12．【答案】2
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ 和 是正数a的平方根，
∴ ，
解得 ，
将b代入 ，
∴正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填：2．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
13．【答案】（1）两；9；3；39
（2）47
【知识点】立方根及开立方；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
③33＜59＜43，因此可以确定 的十位上的数是3，
最后得出 ＝39，
故答案为：两，9，3、39；（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定 的十位数字为4，
于是可得 ＝47；
故答案为：47．
【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
14．【答案】（1）解：∵ 的算术平方根是1，
则 =12，
解得x=1，
∵2x+y﹣6的立方根是2．
∴2x+y﹣6=23=8，
∴2+y-6=8，
解得y=12，
∴x=1，y=12
（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，
∵36的平方根是±6，
∴3xy的平方根±6．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；代数式求值
【解析】【分析】（1）利用算术平方根、立方根的性质求解即可；
（2）将x、y的值代入，再利用平方根的性质求解即可。
15．【答案】（1）±1；±2；±3；一般地，如果一个数 的四次方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的四次方根
（2）；；； 没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根
（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等；；；
【知识点】平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）类比平方根，立方根的定义，当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以填表如下：
结合上述表格，类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果 ，那么x叫做 a的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；⑤ 的四次方根是 ；⑥ 没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
① ；
②
③ ， ， ，
【分析】根据平方根和立方根来求出四次方根的定义，再进行作答求解即可。
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