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北师版九年级上册数学1.3.1
正方形的性质教学设计
课题
1.3.1
正方形的性质
单元
一单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.了解正方形的性质，能利用正方形的性质解决实际问题.2.利用正方形的定义，探索正方形的性质，进一步增强逻辑推理能力，锻炼分析问题解决问题的能力.3.在探索正方形性质过程中，获取成功的体验，增强学习数学的兴趣.
重点
探索正方形的性质.
难点
运用正方形解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师课件出示矩形和菱形图片。师提问：观察两个图形，你能说一说它们的名字和定义吗？师总结：
矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形教师继续出示图片：师提问：观察上面几个图形，它们是矩形或者是菱形吗？
学生思考回答问题。学生看图片，回答问题，上面图片都是正方形。
在复习导入新课的过程中教师引导，学生集体和个别回答相结合,体现了合作学习的重要性和必要性,强调教师合作参与引导,学生主动参与的新型学习方式。
讲授新课
探究一：矩形怎样变化后就成了正方形呢?【做一做】拿一张矩形纸片，通过折叠得到一个正方形。师根据学生回答总结：当矩形的邻边相等时就成了正方形。探究二：菱形怎样变化后就成了正方形呢?【做一做】拿一个菱形框架，通过变形得到正方形。师根据学生回答总结：当菱形有一个角是直角时就成了正方形。正方形的定义师提问：根据上面的探究过程，你能说一说正方形的定义吗？什么样的平行四边形是正方形?正方形是矩形或者是菱形吗？教师总结：正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.正方形的性质正方形有哪些性质呢？小组活动：1.
正方形的边、角、对角线有什么特征？请说明理由.2.
正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？3.
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系？能用一个直观图进行表示吗？教师总结：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．边：________________________________角：_______________________________对角线：______________________________________________________________已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.教师出示证明过程。证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°,
AB=AD
（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B
=∠C
=∠D
=
90°,AB=
BC=CD=AD.教师带领学生总结：正方形的性质1:正方形的四个角都是直角，四条边相等符号语言：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=AD正方形的性质2:正方形的对角线相等并且互相垂直平分符号语言：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，AC=BD,OA=OB=OC=OD师提问：正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？【做一做】准备一张正方形纸片，折一折。教师课件出示：总结：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，有两条是对角线所在的直线，有两条是边的垂直平分线.例1
如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF，且BE⊥DF，理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°∴∠DCF=180°-
∠BCE=180°-
90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF.（2）延长BE交DF于点M（如图）∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.【总结归纳】利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁.【议一议】平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系？能用一个直观图进行表示吗？
学生思考回答后课件展示图形的变化过程,使学生在图形的动画变化过程中了解由边、角的变化可使图形发生变化.学生讨论交流,学生之间互相补充,教师适时点评,强调:正方形既是菱形又是矩形,性质的归纳从边、角、对角线三个方面来叙述.学生探究正方形的性质。学生根据文字命题画图,写出已知求证,再结合活动1的结果,独立完成证明的书写,找两位同学黑板板书。学生通过折纸或者画图去发现正方形的对称轴,并能用准确的语言去叙述.本题是利用正方形的性历判断两条线段的关系,这种关系包括数量关系和位置关系。
本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,对正方形从感性认识上升到理性认识。在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程。让学生分析思路可培养学生语言表达能力,培养了学生用多种方法解题的能力,通过讨论,选择最简单的方法进行板演、这样有助于提高学生的解题能力,并可以规范学生的书写格式.通过让学生亲自动手操作探索矩形的对称性，这样使学生的主体性得到了发挥。可以先鼓励学生用自己的方法进行猜想，比如可以从旋转的角度来看，从而猜想BE=
DF。且BE⊥DF.在猜想的基础上再展开证明.
课堂练习
1.已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )A．∠D＝90°
B．AB＝CDC．AD＝BC
D．BC＝CD2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为( C )A．15°
B．35°
C．45°
D．55°3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是( C )A．1
B．2
C．3
D．44.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF＋∠COF＝90°.∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF.∴△COE≌△DOF(ASA)．∴CE＝DF.5.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
求证：△AEM≌△ANM；证明：∵把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，∴△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，AN＝AE.由题易知E在CB的延长线上．∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°.∴∠MAE＝∠MAN.又∵MA＝MA，AE＝AN，∴△AEM≌△ANM(SAS)．6.【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝22°7.【2020·自贡】如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD.∵CE＝DF，∴BE＝CF.在△AEB与△BFC中，∴△AEB≌△BFC(SAS)．∴AE＝BF.
学生利用所学知识做练习。
从简单的问题入手，运用菱形的性质解决问题，让学生在解题过程中掌握菱形的应用,达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力、
课堂小结
本节课你学到了什么？正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
学生在教师的带领下总结本节课的内容。
让学生来完成，这样做的目的是让学生养成及时总结、善于总结的习惯。让学生理解本节课的核心。
板书
课题：1.3.1
正方形的性质?一、定义二、正方形边的性质三、正方形角的性质
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精品试卷·第
2
页
（共
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1.3.1
正方形的性质
北师大版
九年级上册
新知导入
观察下面两个图形，你能说一说它们的名字和定义吗？
矩形
菱形
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
新知导入
观察下面几个图形，它们是矩形或者是菱形吗？
正方形也是特殊的平行四边形，观察这些正方形，你能说一说正方形的定义吗？
正方形
正方形
正方形
合作探究
探究一：矩形怎样变化后就成了正方形呢?
矩形
正方形
【做一做】拿一张矩形纸片，通过折叠得到一个正方形。
当矩形的邻边相等时就成了正方形。
合作探究
探究二：菱形怎样变化后就成了正方形呢?
菱形
正方形
【做一做】拿一个菱形框架，通过变形得到正方形。
当菱形有一个角是直角时就成了正方形。
新知讲解
正方形的定义
什么样的平行四边形是正方形?
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是矩形或者是菱形吗？
正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
合作探究
正方形有哪些性质呢？
小组活动：
1.
正方形的边、角、对角线有什么特征？请说明理由.
2.
正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
3.
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系？能用一个直观图进行表示吗？
新知讲解
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．
边：
角：
对角线：
对角线互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
对角线相等
四个角都是直角
对边平行
四条边相等
新知讲解
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°,
AB=AD
（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B
=∠C
=∠D
=
90°,
AB=
BC=CD=AD.
新知讲解
正方形的性质1:
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
A
B
C
D
符号语言：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=AD
新知讲解
正方形的性质2:
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
A
B
C
D
O
符号语言：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，AC=BD,
OA=OB=OC=OD
合作探究
正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
【做一做】准备一张正方形纸片，折一折。
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，有两条是对角线所在的直线，有两条是边的垂直平分线.
新知讲解
例1
如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF，且BE⊥DF，理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-
∠BCE=180°-
90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF.
新知讲解
例1
如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
（2）延长BE交DF于点M（如图）
∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
新知讲解
利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁.
【总结归纳】
新知讲解
【议一议】平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系？
能用一个直观图进行表示吗？
菱形
矩形
正方形
平行四边形
课堂练习
1.已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
D
课堂练习
2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为
( )
A．15°
B．35°
C．45°
D．55°
C
课堂练习
3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
课堂练习
4.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.
求证：CE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF＋∠COF＝90°.
∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF.
∴△COE≌△DOF(ASA)．
∴CE＝DF.
拓展提高
5.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
求证：△AEM≌△ANM；
证明：∵把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∴△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，AN＝AE.
由题易知E在CB的延长线上．
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
拓展提高
5.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
求证：△AEM≌△ANM；
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM
＝∠DAN＋∠BAM＝45°.
∴∠MAE＝∠MAN.
又∵MA＝MA，AE＝AN，
∴△AEM≌△ANM(SAS)．
中考链接
6.【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．
22°
中考链接
7.【2020·自贡】如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.
求证：AE＝BF.
课堂总结
本节课你学到了什么？
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
板书设计
课题：1.3.1
正方形的性质
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定义
二、正方形边的性质
三、正方形角的性质
作业布置
课本
P22
练习题
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