初中数学华师大版八年级上学期第12章12.2整式的乘法同步练习
一、单选题
1．（2021·深圳）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·丰泽期末）下列代数式中，可以用 表示的是（ ）.
A． B． C． D．
3．（2021·青岛模拟） 与 的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．前式是后式的-a倍 D．以上结论都不对
4．（2021·长丰模拟）如果 ，那么 ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（2021七下·灵石期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．-3，4 B．3，-4 C．-3，-4 D．3，4
6．（2021七下·莲湖期中）已知a+b＝3，ab＝﹣7，则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣21 C．7 D．21
7．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·漳州期末）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题
9．（2021七下·商河期中）计算﹣5a2 2a3的结果等于 ．
10．（2019八上·周口月考）若 3x(x+1)＝mx2+nx，则
m+n＝ .
11．（2021七下·薛城期中）已知（2x2﹣3x+a）（x+2）计算结果中不含x项，则a＝ ．
12．（2020七下·黄岛期中）如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片 张．
13．（2020七下·昌平期末）观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
三、计算题
14．（2021七下·余杭期中）化简：
（1）（x+1）（x+2）
（2）2a2b×（﹣3bc）
四、综合题
15．（2021七下·秦都月考）如图，甲长方形的长为m+7，宽为m+1，面积为S1；乙长方形的长为m+4，宽为m+2，面积为S2．（m为正整数）
（1）试比较S1，S2的大小；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．
16．（2021七上·金牛期末）
（1）有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）已知 与 的积不含 项和 项，求关于 的方程 的解．
17．（2021七下·台儿庄期中）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3，故A正确；
B、（a2）3=a6，故B错误；
C、a2和a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a2=a4，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵x2+x2=2x2，x2 x2=x4≠2x2，2x 2x=4x2≠2x2，4x≠2x2，
∴选项A可用2x2表示.
故答案为：A.
【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则及单项式与单项式的乘法法则逐个运算，得结论.
3．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
显然， ，
∴它们的关系是互为相反数，
故答案为：B．
【分析】根据互为相反数的两数相加等于0，计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+px+q，
∴p＝1，q＝﹣6，
故答案为：A．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2)(x+3)展开，在根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值。
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴或.
故答案为：C.
【分析】根据两个多项式相乘的运算过程的规律，得出，解方程组求出a，b的值，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣7
∴（a+1）（b+1）=ab+a+b+1=3-7+1=-3.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将代数式转化为ab+a+b+1，然后整体代入求值.
7．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
9．【答案】﹣10a5
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：原式＝﹣10a5，
故答案为：﹣10a5．
【分析】利用单项式乘单项式的计算方法求解即可。
10．【答案】6
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到m,n的值，再代入计算即可.
11．【答案】6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2x2﹣3x+a）（x+2）＝2x3+x2+（a﹣6）x+2a，
∵结果中不含x的一次项，
∴a﹣6＝0，
解得a＝6．
故答案为：6．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求解，再找出含x的项，令系数为0求解即可。
12．【答案】7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断需要B类卡片多少张即可。
13．【答案】xn+1；22020﹣1
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
14．【答案】（1）解：（x+1）（x+2）
＝x2+2x+x+2
＝x2+3x+2
（2）解：2a2b×（﹣3bc）
＝﹣6a2b2c
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可求解；
（2）根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解.
15．【答案】（1）解：
所以
因为 为正整数
所以
所以
（2）解：图中甲长方形的周长为
所以该正方形的边长为
∴S-S1=（m+4）2-（m2+8m+7）=m2+8m+16-m2-8m-7=9.
所以所以这个常数为9.
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽，分别列式求出S1和S2，再求出S1-S2，由m为正整数，可得到S1和S2的大小.
（2）求出甲图形中的长方形的周长，根据一正方形的周长和甲长方形的周长相等，可求出该正方形的边长，然后求出S-S1，即可得到这个常数.
16．【答案】（1）解：由数轴可知：c
∴a+c<0，a-b-c>0，b-c>0，b+c<0
∴
=-（a+c）-(a-b-c)-(b-c)-(b+c)
=-a-c-a+b+c-b+c-b-c
=-2a-b；
（2）解：
=
=
∵ 与 的积不含 项和 项
∴ ，
解得， ，
代入 得，
解得， ．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；多项式的概念；多项式乘多项式
【解析】【分析】(1)根据有理数 ， ， 在数轴上的位置得出它们的大小，据此判断出每个绝对值内的代数式的正负性，然后去绝对值，再去括号，合并同类项化简即可；
(2)先根据多项式乘以多项式的法则计算，将结果按x降次排列，根据不含不含 项和 项的特点分别列式求出a、b值，将其代入原方程求解即可.
17．【答案】（1）a2﹣ab+b2
（2）解：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3=a3+b3；
（3）解：原式=（x3+y3）﹣（x3+8y3）=﹣7y3．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由已知等式可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
【分析】（1）根据等式的规律填空即可；
（2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第12章12.2整式的乘法同步练习
一、单选题
1．（2021·深圳）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3，故A正确；
B、（a2）3=a6，故B错误；
C、a2和a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a2=a4，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2021八上·丰泽期末）下列代数式中，可以用 表示的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵x2+x2=2x2，x2 x2=x4≠2x2，2x 2x=4x2≠2x2，4x≠2x2，
∴选项A可用2x2表示.
故答案为：A.
【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则及单项式与单项式的乘法法则逐个运算，得结论.
3．（2021·青岛模拟） 与 的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．前式是后式的-a倍 D．以上结论都不对
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
显然， ，
∴它们的关系是互为相反数，
故答案为：B．
【分析】根据互为相反数的两数相加等于0，计算求解即可。
4．（2021·长丰模拟）如果 ，那么 ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+px+q，
∴p＝1，q＝﹣6，
故答案为：A．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2)(x+3)展开，在根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值。
5．（2021七下·灵石期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．-3，4 B．3，-4 C．-3，-4 D．3，4
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴或.
故答案为：C.
【分析】根据两个多项式相乘的运算过程的规律，得出，解方程组求出a，b的值，即可得出答案.
6．（2021七下·莲湖期中）已知a+b＝3，ab＝﹣7，则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣21 C．7 D．21
【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣7
∴（a+1）（b+1）=ab+a+b+1=3-7+1=-3.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将代数式转化为ab+a+b+1，然后整体代入求值.
7．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
8．（2019七下·漳州期末）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
二、填空题
9．（2021七下·商河期中）计算﹣5a2 2a3的结果等于 ．
【答案】﹣10a5
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：原式＝﹣10a5，
故答案为：﹣10a5．
【分析】利用单项式乘单项式的计算方法求解即可。
10．（2019八上·周口月考）若 3x(x+1)＝mx2+nx，则
m+n＝ .
【答案】6
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到m,n的值，再代入计算即可.
11．（2021七下·薛城期中）已知（2x2﹣3x+a）（x+2）计算结果中不含x项，则a＝ ．
【答案】6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2x2﹣3x+a）（x+2）＝2x3+x2+（a﹣6）x+2a，
∵结果中不含x的一次项，
∴a﹣6＝0，
解得a＝6．
故答案为：6．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求解，再找出含x的项，令系数为0求解即可。
12．（2020七下·黄岛期中）如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片 张．
【答案】7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断需要B类卡片多少张即可。
13．（2020七下·昌平期末）观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
【答案】xn+1；22020﹣1
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
三、计算题
14．（2021七下·余杭期中）化简：
（1）（x+1）（x+2）
（2）2a2b×（﹣3bc）
【答案】（1）解：（x+1）（x+2）
＝x2+2x+x+2
＝x2+3x+2
（2）解：2a2b×（﹣3bc）
＝﹣6a2b2c
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可求解；
（2）根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解.
四、综合题
15．（2021七下·秦都月考）如图，甲长方形的长为m+7，宽为m+1，面积为S1；乙长方形的长为m+4，宽为m+2，面积为S2．（m为正整数）
（1）试比较S1，S2的大小；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．
【答案】（1）解：
所以
因为 为正整数
所以
所以
（2）解：图中甲长方形的周长为
所以该正方形的边长为
∴S-S1=（m+4）2-（m2+8m+7）=m2+8m+16-m2-8m-7=9.
所以所以这个常数为9.
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽，分别列式求出S1和S2，再求出S1-S2，由m为正整数，可得到S1和S2的大小.
（2）求出甲图形中的长方形的周长，根据一正方形的周长和甲长方形的周长相等，可求出该正方形的边长，然后求出S-S1，即可得到这个常数.
16．（2021七上·金牛期末）
（1）有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）已知 与 的积不含 项和 项，求关于 的方程 的解．
【答案】（1）解：由数轴可知：c∴a+c<0，a-b-c>0，b-c>0，b+c<0
∴
=-（a+c）-(a-b-c)-(b-c)-(b+c)
=-a-c-a+b+c-b+c-b-c
=-2a-b；
（2）解：
=
=
∵ 与 的积不含 项和 项
∴ ，
解得， ，
代入 得，
解得， ．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；多项式的概念；多项式乘多项式
【解析】【分析】(1)根据有理数 ， ， 在数轴上的位置得出它们的大小，据此判断出每个绝对值内的代数式的正负性，然后去绝对值，再去括号，合并同类项化简即可；
(2)先根据多项式乘以多项式的法则计算，将结果按x降次排列，根据不含不含 项和 项的特点分别列式求出a、b值，将其代入原方程求解即可.
17．（2021七下·台儿庄期中）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
【答案】（1）a2﹣ab+b2
（2）解：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3=a3+b3；
（3）解：原式=（x3+y3）﹣（x3+8y3）=﹣7y3．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由已知等式可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
【分析】（1）根据等式的规律填空即可；
（2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可。
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