初中数学华师大版八年级上学期第12章12.3.1两数和乘以这两数的差同步练习
一、单选题
1．（2021·宁波模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·古丈期末）若 ，则括号内应填的代数式是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021七下·商河期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣x﹣b）（x+b）
C．（a﹣b）（b﹣a） D．（m+b）（m﹣b）
4．（2021八上·甘州期末）如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
5．（2021七下·吴兴期末）如图①，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图②所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021七下·秦都月考）一个正方形的边长均增加2cm，它的面积就增加了24cm2，这个正方形原来的边长是（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
7．（2021七下·昆山月考）算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
二、填空题
9．（2021·扬州）计算： .
10．（2021·广安）若 、 满足 ，则代数式 的值为 .
11．（2021七上·金牛期末）已知下列等式：；① ；② ；③ ；④ ……由此规律，则 ．
12．（2020七下·天桥期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
③根据（2）中的结论，若x+y=5，x y= ，则（x﹣y）2= ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 ．
三、计算题
13．（2021七下·莲湖期中）计算：（a﹣b）（a+b）．
四、综合题
14．（2021七下·西安期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32﹣12，16＝53﹣32，24＝72﹣52，则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
15．（2021七下·秦都月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分裁剪拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）如图1，阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，阴影部分（长方形）的宽为 ，长为 ，面积为 ；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式： ；
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：5（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A、 ，不是同类项，不能合并，是加法运算不是同底数幂的乘法运算，故该项错误；
B、 ，故该项错误；
C、 ，不是同底数幂的乘法，不能混淆，故该项错误；
D、 ，故该项正确；
故答案为：D.
【分析】A、由同类项的定义“同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”可知x2和x3不是同类项，所以不能合并；
B 、x和x2不相等，所以；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得原式=x12；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得原式=2x5.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】将等式右边的多项式根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：能用平方差公式运算的是（m+b）（m﹣b），
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式判断即可选出选项。
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2-y2=（x+y）（x-y）=24，
∴6（x-y）=24，
∴x-y=4，
∴y-x=-4，
故答案为：A．
【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入x+y=6, 系数化为1即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图①去掉阴影部分的面积=x2-1，图②的面积=（x+1）（x-1），
∴x2-1=（x+1）（x-1）.
故答案为：B.
【分析】利用图①去掉阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出图①去掉阴影部分的面积=x2-1，利用图②的面积=长×宽，得出图②的面积=（x+1）（x-1），根据这两部分的面积相等，即可得出x2-1=（x+1）（x-1）.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设这个正方形原来的边长为x，则现在正方形的边长为（x+2）
根据题意得：
（x+2）2-x2=24
解之：x=5.
故答案为：A.
【分析】设这个正方形原来的边长为x，可表示出现在正方形的边长，再根据它的面积就增加了24cm2，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232-1）×（232+1）+1
=264-1+1
=264，
因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，
所以264的个位数是6.
故答案为：B.
【分析】原式可变形为(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(232+1)+1，利用平方差公式计算可得原式=264，分析可知：底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，据此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2;
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;
由图3,得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab这四个式子之间得关系.
9．【答案】4041
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=4041
故答案为：4041.
【分析】利用平方差公式将原式变形为，然后计算即可.
10．【答案】-6
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6.
【分析】观察方程左边的多项式可知：两个多项式符合平方差公式特征，于是将方程的左右两边分别相乘即可求解.
11．【答案】1581525
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵① ；② ；③ ；④ ，……，
∴ ，
∴ 13+23+33+…+503-(13+23+33+…+203)
=(1+2+3+…+50)2-(1+2+3+…+20)2
=12752-2102
=1581525．
故答案为：1581525．
【分析】首先根据前4项的结果推出一般规律： ，然后把原式变形为n=50和n=20时的两个等式之差，再利用平方差公式计算即可.
12．【答案】（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；16；（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式的几何背景；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；
③当x+y=5，x y= 时，
（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy
=52﹣4×
=16；
④（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2．
【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．
13．【答案】解：（a﹣b）（a+b）=a2-b2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式直接进行计算.
14．【答案】（1）解：32是奇特数，32＝92﹣72，
2020不是奇特数
（2）解：两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∵n为正整数，
∴8n是8的倍数，
即两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意，可以判断32和2020这两个数是否为奇特数，然后将是齐特数的数表示出来即可；
（2）先判断，然后根据平方差公式即可说明理由。
15．【答案】（1）
（2）a-b；a+b；（a+b）（a-b）
（3）
（4）解：①因为
所以
②原式=
…
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）观察图1，可知阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，列式即可.
（2）利用图1和图2可知阴影部分的长方形的长和宽，然后利用长方形的面积公式，可得到图2中阴影部分的面积.
（3）利用图1和图2的面积相等，可得公式.
（4）将5转化为（6-1）然后利用平方差公式进行计算，可得答案.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第12章12.3.1两数和乘以这两数的差同步练习
一、单选题
1．（2021·宁波模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A、 ，不是同类项，不能合并，是加法运算不是同底数幂的乘法运算，故该项错误；
B、 ，故该项错误；
C、 ，不是同底数幂的乘法，不能混淆，故该项错误；
D、 ，故该项正确；
故答案为：D.
【分析】A、由同类项的定义“同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”可知x2和x3不是同类项，所以不能合并；
B 、x和x2不相等，所以；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得原式=x12；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得原式=2x5.
2．（2021八上·古丈期末）若 ，则括号内应填的代数式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】将等式右边的多项式根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案.
3．（2021七下·商河期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣x﹣b）（x+b）
C．（a﹣b）（b﹣a） D．（m+b）（m﹣b）
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：能用平方差公式运算的是（m+b）（m﹣b），
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式判断即可选出选项。
4．（2021八上·甘州期末）如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2-y2=（x+y）（x-y）=24，
∴6（x-y）=24，
∴x-y=4，
∴y-x=-4，
故答案为：A．
【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入x+y=6, 系数化为1即可求解。
5．（2021七下·吴兴期末）如图①，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图②所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图①去掉阴影部分的面积=x2-1，图②的面积=（x+1）（x-1），
∴x2-1=（x+1）（x-1）.
故答案为：B.
【分析】利用图①去掉阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出图①去掉阴影部分的面积=x2-1，利用图②的面积=长×宽，得出图②的面积=（x+1）（x-1），根据这两部分的面积相等，即可得出x2-1=（x+1）（x-1）.
6．（2021七下·秦都月考）一个正方形的边长均增加2cm，它的面积就增加了24cm2，这个正方形原来的边长是（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设这个正方形原来的边长为x，则现在正方形的边长为（x+2）
根据题意得：
（x+2）2-x2=24
解之：x=5.
故答案为：A.
【分析】设这个正方形原来的边长为x，可表示出现在正方形的边长，再根据它的面积就增加了24cm2，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
7．（2021七下·昆山月考）算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232-1）×（232+1）+1
=264-1+1
=264，
因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，
所以264的个位数是6.
故答案为：B.
【分析】原式可变形为(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(232+1)+1，利用平方差公式计算可得原式=264，分析可知：底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，据此解答即可.
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2;
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;
由图3,得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab这四个式子之间得关系.
二、填空题
9．（2021·扬州）计算： .
【答案】4041
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=4041
故答案为：4041.
【分析】利用平方差公式将原式变形为，然后计算即可.
10．（2021·广安）若 、 满足 ，则代数式 的值为 .
【答案】-6
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6.
【分析】观察方程左边的多项式可知：两个多项式符合平方差公式特征，于是将方程的左右两边分别相乘即可求解.
11．（2021七上·金牛期末）已知下列等式：；① ；② ；③ ；④ ……由此规律，则 ．
【答案】1581525
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵① ；② ；③ ；④ ，……，
∴ ，
∴ 13+23+33+…+503-(13+23+33+…+203)
=(1+2+3+…+50)2-(1+2+3+…+20)2
=12752-2102
=1581525．
故答案为：1581525．
【分析】首先根据前4项的结果推出一般规律： ，然后把原式变形为n=50和n=20时的两个等式之差，再利用平方差公式计算即可.
12．（2020七下·天桥期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
③根据（2）中的结论，若x+y=5，x y= ，则（x﹣y）2= ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 ．
【答案】（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；16；（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式的几何背景；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；
③当x+y=5，x y= 时，
（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy
=52﹣4×
=16；
④（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2．
【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．
三、计算题
13．（2021七下·莲湖期中）计算：（a﹣b）（a+b）．
【答案】解：（a﹣b）（a+b）=a2-b2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式直接进行计算.
四、综合题
14．（2021七下·西安期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32﹣12，16＝53﹣32，24＝72﹣52，则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
【答案】（1）解：32是奇特数，32＝92﹣72，
2020不是奇特数
（2）解：两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∵n为正整数，
∴8n是8的倍数，
即两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意，可以判断32和2020这两个数是否为奇特数，然后将是齐特数的数表示出来即可；
（2）先判断，然后根据平方差公式即可说明理由。
15．（2021七下·秦都月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分裁剪拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）如图1，阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，阴影部分（长方形）的宽为 ，长为 ，面积为 ；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式： ；
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：5（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1．
【答案】（1）
（2）a-b；a+b；（a+b）（a-b）
（3）
（4）解：①因为
所以
②原式=
…
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）观察图1，可知阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，列式即可.
（2）利用图1和图2可知阴影部分的长方形的长和宽，然后利用长方形的面积公式，可得到图2中阴影部分的面积.
（3）利用图1和图2的面积相等，可得公式.
（4）将5转化为（6-1）然后利用平方差公式进行计算，可得答案.
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