初中数学华师大版八年级上学期第12章12.3.2两数和（差）的平方同步练习
一、单选题
1．（2021七下·吴兴期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·苏州）已知两个不等于0的实数 、 满足 ，则 等于（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2021·顺义模拟）将一个长为 ，宽为 的矩形纸片 ，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·皇姑模拟）化简 的结果正确的是（ ）
A．395 B． C．3 D．403
5．（2021七下·台儿庄期中）若 ， ，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
6．（2021七下·郓城月考）设（5a+3b）2=（5a-3b）2+A,则A等于（ ）
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
7．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
8．（2020七下·郑州期末）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33 B．30 C．27 D．24
二、填空题
9．（2021·河西模拟）计算 的结果等于 ．
10．（2021七下·曲阳期中）若 ，则 ， 的值分别是 ．
11．（2021七下·鄞州期中）若4x2+（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，则a的值是
12．（2021七下·昆山月考）已知 ，则代数式 的值是 .
13．（2020七下·建平期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作 解：九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了 为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ，
则 的展开式共有 项，系数和为 .
三、计算题
14．（2021七下·濉溪期中）化简：(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n)
15．（2021·福田模拟）先化简： 再在－2，0，1，2四个数中选一个合适的数作为x的取值代入求值．
四、综合题
16．（2021·延庆模拟）小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4，如图．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上 ，同时小明的屏幕上的数就会减去 ，且均显示化简后的结果．如下表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
开始数 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后
小林 9
小明 4
根据以上的信息回答问题：从开始起按4次后，
（1）两人屏幕上显示的结果是：小林 ；小明 ；
（2）判断这两个结果的大小，并说明理由．
17．（2021七下·合肥期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1 ，
图2 ，
图3 ．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，故选项A错误；
B、（-2ab2）3=-8a3b6，故选项B正确；
C、a6÷a2=a4，故选项C错误；
D、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵两个不等于0的实数 、 满足 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】将所求代数式通分并根据完全平方公式可得=，然后整体代换即可求解.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
=（a+b）2-4ab，
=a2+2ab+b2-4ab，
=（a-b）2
故答案为：D．
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ，
= ，
= ，
= ，
=-395．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a＋b）2＝7，（a b）2＝3，
∴a2＋2ab＋b2＝7，①
a2 2ab＋b2＝3，②
由①＋②得到：a2＋b2＝5，
由① ②得到：ab＝1，
∴a2＋b2 3ab＝5 3＝2．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件先求解ab，再把a2＋b2 3ab＝（a b）2-ab，从而可得答案。
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵（5a+3b）2=（5a-3b）2+A
∴25a2+30ab+9b2=25a2-30ab+9b2+A
∴A=60ab
故答案为：A
【分析】根据完全平方公式的展开法则，将等号两边去掉括号，即可得出A．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b
由图甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3
由图乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化简得：2ab=30
∴a2+b2-30=3
∴a2+b2=33
故答案为：A.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，把图甲和图乙中的阴影面积用a、b的代数式表示出来，可以得到两个等式，进而得出答案.
9．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： =
故答案为：
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
10．【答案】4、
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为4， ．
【分析】利用完全平方公式将等式的右边展开，找到对应项，即可求出相应的系数的值。
11．【答案】13或-11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 4x2+（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，
∴4x2+（a﹣1）xy+9y2=（2x±3y）2=4x2±12xy+9y2，
∴a﹣1=±12
解之：a=13或a=-11.
故答案为：13或-11.
【分析】利用已知条件可得到4x2+（a﹣1）xy+9y2=4x2±12xy+9y2，由此可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
12．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得：
=
= ；
把 代入得：
原式= =1+1+4
=6；
故答案为6.
【分析】对待求式子首先去括号、然后合并同类项，接下来利用完全平方式变形可得：(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2，最后将a、b、c的值代入计算即可.
13．【答案】n+1；2n
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为 ：n+1，2n
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和.因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可.
14．【答案】解：原式=4m2+9n2-12mn-（4m2-2mn+2mn-n2）
=4m2+9n2-12mn-4m2+2mn-2mn+n2
=10n2-12mn
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意，由完全平方公式以及平方差公式的性质，化简式子得到答案即可。
15．【答案】解：
=
∵x≠-2，0，2，∴x=1
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差以及完全平方公式的性质，将式子化简，代入合适的值，求出式子的答案即可。
16．【答案】（1）；
（2）解：
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
故 ．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）按4次，小林的屏幕上的数等于9加4个 ，为 ，
按4次，小林的屏幕上的数等于4减4个 ，为 ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据题干所述规律，即可得出结论；
（2）利用作差法，结合完全平方公式和平方的非负性即可比较大小．
17．【答案】（1）解：（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2；（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2； （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）解：由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）解：由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
【知识点】代数式求值；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积求解即可；
（2）先求出大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab， 再计算求解即可；
（3）根据 x+y＝3，xy＝﹣10 计算求解即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第12章12.3.2两数和（差）的平方同步练习
一、单选题
1．（2021七下·吴兴期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，故选项A错误；
B、（-2ab2）3=-8a3b6，故选项B正确；
C、a6÷a2=a4，故选项C错误；
D、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2021·苏州）已知两个不等于0的实数 、 满足 ，则 等于（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵两个不等于0的实数 、 满足 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】将所求代数式通分并根据完全平方公式可得=，然后整体代换即可求解.
3．（2021·顺义模拟）将一个长为 ，宽为 的矩形纸片 ，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
=（a+b）2-4ab，
=a2+2ab+b2-4ab，
=（a-b）2
故答案为：D．
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．
4．（2021·皇姑模拟）化简 的结果正确的是（ ）
A．395 B． C．3 D．403
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ，
= ，
= ，
= ，
=-395．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算求解即可。
5．（2021七下·台儿庄期中）若 ， ，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a＋b）2＝7，（a b）2＝3，
∴a2＋2ab＋b2＝7，①
a2 2ab＋b2＝3，②
由①＋②得到：a2＋b2＝5，
由① ②得到：ab＝1，
∴a2＋b2 3ab＝5 3＝2．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件先求解ab，再把a2＋b2 3ab＝（a b）2-ab，从而可得答案。
6．（2021七下·郓城月考）设（5a+3b）2=（5a-3b）2+A,则A等于（ ）
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵（5a+3b）2=（5a-3b）2+A
∴25a2+30ab+9b2=25a2-30ab+9b2+A
∴A=60ab
故答案为：A
【分析】根据完全平方公式的展开法则，将等号两边去掉括号，即可得出A．
7．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
8．（2020七下·郑州期末）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33 B．30 C．27 D．24
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b
由图甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3
由图乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化简得：2ab=30
∴a2+b2-30=3
∴a2+b2=33
故答案为：A.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，把图甲和图乙中的阴影面积用a、b的代数式表示出来，可以得到两个等式，进而得出答案.
二、填空题
9．（2021·河西模拟）计算 的结果等于 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： =
故答案为：
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
10．（2021七下·曲阳期中）若 ，则 ， 的值分别是 ．
【答案】4、
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为4， ．
【分析】利用完全平方公式将等式的右边展开，找到对应项，即可求出相应的系数的值。
11．（2021七下·鄞州期中）若4x2+（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，则a的值是
【答案】13或-11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 4x2+（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，
∴4x2+（a﹣1）xy+9y2=（2x±3y）2=4x2±12xy+9y2，
∴a﹣1=±12
解之：a=13或a=-11.
故答案为：13或-11.
【分析】利用已知条件可得到4x2+（a﹣1）xy+9y2=4x2±12xy+9y2，由此可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
12．（2021七下·昆山月考）已知 ，则代数式 的值是 .
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得：
=
= ；
把 代入得：
原式= =1+1+4
=6；
故答案为6.
【分析】对待求式子首先去括号、然后合并同类项，接下来利用完全平方式变形可得：(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2，最后将a、b、c的值代入计算即可.
13．（2020七下·建平期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作 解：九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了 为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ，
则 的展开式共有 项，系数和为 .
【答案】n+1；2n
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为 ：n+1，2n
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和.因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可.
三、计算题
14．（2021七下·濉溪期中）化简：(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n)
【答案】解：原式=4m2+9n2-12mn-（4m2-2mn+2mn-n2）
=4m2+9n2-12mn-4m2+2mn-2mn+n2
=10n2-12mn
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意，由完全平方公式以及平方差公式的性质，化简式子得到答案即可。
15．（2021·福田模拟）先化简： 再在－2，0，1，2四个数中选一个合适的数作为x的取值代入求值．
【答案】解：
=
∵x≠-2，0，2，∴x=1
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差以及完全平方公式的性质，将式子化简，代入合适的值，求出式子的答案即可。
四、综合题
16．（2021·延庆模拟）小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4，如图．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上 ，同时小明的屏幕上的数就会减去 ，且均显示化简后的结果．如下表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
开始数 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后
小林 9
小明 4
根据以上的信息回答问题：从开始起按4次后，
（1）两人屏幕上显示的结果是：小林 ；小明 ；
（2）判断这两个结果的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
故 ．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）按4次，小林的屏幕上的数等于9加4个 ，为 ，
按4次，小林的屏幕上的数等于4减4个 ，为 ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据题干所述规律，即可得出结论；
（2）利用作差法，结合完全平方公式和平方的非负性即可比较大小．
17．（2021七下·合肥期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1 ，
图2 ，
图3 ．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【答案】（1）解：（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2；（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2； （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）解：由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）解：由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
【知识点】代数式求值；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积求解即可；
（2）先求出大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab， 再计算求解即可；
（3）根据 x+y＝3，xy＝﹣10 计算求解即可。
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