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北师版九年级上册数学1.3.2
正方形的判定教学设计
课题
1.3.2
正方形的判定
单元
一单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.掌握正方形的概念，正方形的判定方法.2.经历探索正方形有关判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系.3.进一步加深对特殊与一般的认识，培养发现问题、解决问题的能力及逻辑思维能力．
重点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
难点
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师提问：什么是正方形？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形有哪些性质？1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.2.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分.课件出示课本问题：如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
学生复习所学知识。学生通过实际操作得出答案。
从学生学过的旧知识出发,提出问题,创设问题情景,为实施本节教学目标打下良好的基础。
讲授新课
【小组讨论】正方形和矩形、菱形有什么关系？满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.【猜想1】当矩形的________________时，会变成一个正方形。【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形。【小组合作】试着证明对角线互相垂直的矩形是正方形。已知：如图，在矩形ABCD中，AC
,
DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴
AO=CO=BO=DO
，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴
AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.总结归纳通过矩形判定正方形：判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，所以四边形ABCD是正方形。判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形。满足什么条件的菱形是正方形？【猜想1】当菱形的________________时，会变成一个正方形。【猜想2】当菱形的________________时，会变成一个正方形。【小组合作】试着证明对角线相等的菱形是正方形。已知：如图，在菱形ABCD中，AC
,
DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.总结归纳通过菱形判定正方形：判定方法1：有一个角是直角的菱形是正方形。符号语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，所以四边形ABCD是正方形。判定方法2：对角线相等的菱形是正方形。符号语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，所以四边形ABCD是正方形。例2
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.思考：通过什么方式证明四边形BECF是正方形？思路一：先证明四边形BECF是菱形，然后证明四边形BECF中有一个角是直角；思路二：先证明四边形BECF是矩形，然后证明四边形BECF中有一组邻边相等.【思路二】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°.∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC
=
45°,
∠ECB
=
45°,
∴
∠EBC=∠ECB=45°，∴EB=EC.
∵BF∥CE，CF
∥BE，∴∠FBC=∠ECB=45°，∠FCB=∠EBC=45°，∴∠EBF=∠ECF=∠BEC=90°，∴矩形BECF是正方形.我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
由学生亲自动手操作自制的学具,改变图形为正方形。学生根据教师提示得出猜想。学生小组交流合作证明对角线互相垂直的矩形是正方形。学生在教师的引导下总结归纳，并整理笔记。学生得出猜想。菱形有一个角是直角或对角线相等的情况下会变成正方形。学生证明。学生总结。课本例题，学生通过教师引导，完成第二个思路的证明过程，小组讨论，总结解题步骤。
让学生从自己的实践中感悟、发现、理解由菱形、矩形、平行四边形变化边或角得到正方形,试图体现教学活动中学生主动参与的目标,使学生掌握扎实的基础知识和基本技能,形成良好的学习习惯和学习态度,做到有问必究。在前两环节的感性认识的基础之上上升为理性认识,锻炼学生的逻辑思维能力。学生探究得出结论,不是由教师直接给出,这样既能充分调动学生的学习积极性,又能使学生得到锻炼,而且学生对得到的结论有更深刻的认识和认同。学生自己总结归纳,这样锻炼学生的话言表达能力,提高学生解决问题的技巧。老师巡视指导,当发现学生有困难时,老师要点拨引导，若是个别学生有难度,则先找中等学生演板示范,再让好学生点评,其他学生听,最后引导学生总结方法以及对书写格式的规范要求等。
课堂练习
1.下列说法正确的是( B )A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是( B )A．AB＝AD
B．AB⊥BCC．AC⊥BD
D．AC平分∠BAD3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( C )A．BC＝ACB．BD＝DFC．AC＝BFD．CF⊥BF4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD.（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．由(1)知，△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴四边形DFAE是正方形．5.【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( B )A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形6.【中考·舟山】如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AB＝AD.∴矩形ABCD是正方形．
学生利用所学知识做练习。
从简单的问题入手，运用正方形的判定解决问题，让学生在解题过程中掌握正方形的应用，达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力、
课堂小结
本节课你学到了什么？判定一个四边形是正方形，就要判定它既是______，又是________．具体判定方法如下：对角线互相垂直的________是正方形；对角线相等的________是正方形；对角线互相垂直且相等的____________是正方形；有一个角是直角的________是正方形；有一组邻边相等的________是正方形．
师生一起回顾本节课所学的主要内容.
引导学生归纳本节课的知识点和疏理探究思路，并对举行判定的判定体系作整体感知．
板书
课题：1.3.2
正方形的判定一、通过平行四边形判定二、通过矩形判定三、通过菱形判定
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精品试卷·第
2
页
（共
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1.3.2
正方形的判定
北师大版
九年级上册
新知导入
什么是正方形？
正方形有哪些性质？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.
2.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分.
新知导入
如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.
合作探究
【小组讨论】正方形和矩形、菱形有什么关系？满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
新知讲解
【猜想1】当矩形的________________时，会变成一个正方形。
一组邻边相等
新知讲解
【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形。
对角线互相垂直
合作探究
【小组合作】试着证明对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：如图，在矩形ABCD中，AC
,
DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴
AO=CO=BO=DO
，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴
AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
新知讲解
总结归纳
通过矩形判定正方形：
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AB=AD，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AC⊥BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
合作探究
满足什么条件的菱形是正方形？
【猜想1】当菱形的________________时，会变成一个正方形。
一个角是直角
合作探究
满足什么条件的菱形是正方形？
【猜想2】当菱形的________________时，会变成一个正方形。
对角线相等
合作探究
【小组合作】试着证明对角线相等的菱形是正方形。
已知：如图，在菱形ABCD中，AC
,
DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
新知讲解
总结归纳
通过菱形判定正方形：
判定方法1：有一个角是直角的菱形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC=90°，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线相等的菱形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
AC=BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
新知讲解
例2
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
思考：通过什么方式证明四边形BECF是正方形？
思路一：先证明四边形BECF是菱形，然后证明四边形BECF中有一个角是直角；
思路二：先证明四边形BECF是矩形，然后证明四边形BECF中有一组邻边相等.
新知讲解
例2
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
【思路二】
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC
=
45°,
∠ECB
=
45°,
∴
∠EBC=∠ECB=45°，∴EB=EC.
∵BF∥CE，CF
∥BE，
∴∠FBC=∠ECB=45°，∠FCB=∠EBC=45°，
∴∠EBF=∠ECF=∠BEC=90°，∴矩形BECF是正方形.
合作探究
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。
任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
新知讲解
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。
证明思路：
利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1
=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。
课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B
课堂练习
2.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是( )
A．AB＝AD
B．AB⊥BC
C．AC⊥BD
D．AC平分∠BAD
B
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC
B．BD＝DF
C．AC＝BF
D．CF⊥BF
C
拓展提高
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
拓展提高
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．
由(1)知，△BED≌△CFD，
∴DE＝DF.
∴四边形DFAE是正方形．
中考链接
5.【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
中考链接
6.【中考·舟山】如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形．
判定一个四边形是正方形，就要判定它既是______，又是________．具体判定方法如下：
对角线互相垂直的________是正方形；
对角线相等的________是正方形；
对角线互相垂直且相等的____________是正方形；
有一个角是直角的________是正方形；
有一组邻边相等的________是正方形．
课堂总结
本节课你学到了什么？
矩形
菱形
矩形
菱形
平行四边形
菱形
矩形
板书设计
课题：1.3.2
正方形的判定
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教师板演区
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学生展示区
一、通过平行四边形判定
二、通过矩形判定
三、通过菱形判定
作业布置
课本
P25
练习题
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